解決{l}{-5x-3y-9=0}{4x-18y-54=0} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x - 3 y - 9 = 0 } \\ { 4 x - 18 y - 54 = 0 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=0$$

$$y=-3$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-5x-3y-9=0,4x-18y-54=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-5x-3y-9=0$$

將 9 加到方程式的兩邊。

$$-5x-3y=9$$

將 3y 加到方程式的兩邊。

$$-5x=3y+9$$

將兩邊同時除以 -5。

$$x=-\frac{1}{5}\left(3y+9\right)$$

-\frac{1}{5} 乘上 9+3y。

$$x=-\frac{3}{5}y-\frac{9}{5}$$

在另一個方程式 4x-18y-54=0 中以 \frac{-3y-9}{5} 代入 x在方程式。

$$4\left(-\frac{3}{5}y-\frac{9}{5}\right)-18y-54=0$$

4 乘上 \frac{-3y-9}{5}。

$$-\frac{12}{5}y-\frac{36}{5}-18y-54=0$$

將 -\frac{12y}{5} 加到 -18y。

$$-\frac{102}{5}y-\frac{36}{5}-54=0$$

將 -\frac{36}{5} 加到 -54。

$$-\frac{102}{5}y-\frac{306}{5}=0$$

將 \frac{306}{5} 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{102}{5}y=\frac{306}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{102}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-3$$

在 x=-\frac{3}{5}y-\frac{9}{5} 中以 -3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{3}{5}\left(-3\right)-\frac{9}{5}$$

-\frac{3}{5} 乘上 -3。

$$x=\frac{9-9}{5}$$

將 -\frac{9}{5} 與 \frac{9}{5} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=-3$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-5x-3y-9=0,4x-18y-54=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{-5\left(-18\right)-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{-5\left(-18\right)-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{-5\left(-18\right)-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{5}{-5\left(-18\right)-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{17}&\frac{1}{34}\\-\frac{2}{51}&-\frac{5}{102}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{17}\times 9+\frac{1}{34}\times 54\\-\frac{2}{51}\times 9-\frac{5}{102}\times 54\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=0,y=-3$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-5x-3y-9=0,4x-18y-54=0$$

讓 -5x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -5。

$$4\left(-5\right)x+4\left(-3\right)y+4\left(-9\right)=0,-5\times 4x-5\left(-18\right)y-5\left(-54\right)=0$$

化簡。

$$-20x-12y-36=0,-20x+90y+270=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -20x-12y-36=0 減去 -20x+90y+270=0。

$$-20x+20x-12y-90y-36-270=0$$

將 -20x 加到 20x。 -20x 和 20x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-12y-90y-36-270=0$$

將 -12y 加到 -90y。

$$-102y-36-270=0$$

將 -36 加到 -270。

$$-102y-306=0$$

將 306 加到方程式的兩邊。

$$-102y=306$$

將兩邊同時除以 -102。

$$y=-3$$

在 4x-18y-54=0 中以 -3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x-18\left(-3\right)-54=0$$

-18 乘上 -3。

$$4x+54-54=0$$

將 54 加到 -54。

$$4x=0$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=-3$$