解決{l}{-5x+5y=-10}{-2x+5y=-16}hline |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 5 y = - 10 } \\ { - 2 x + 5 y = - 16 } \\ \hline \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-2$$

$$y=-4$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-5x+5y=-10,-2x+5y=-16$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-5x+5y=-10$$

從方程式兩邊減去 5y。

$$-5x=-5y-10$$

將兩邊同時除以 -5。

$$x=-\frac{1}{5}\left(-5y-10\right)$$

-\frac{1}{5} 乘上 -5y-10。

$$x=y+2$$

在另一個方程式 -2x+5y=-16 中以 y+2 代入 x在方程式。

$$-2\left(y+2\right)+5y=-16$$

-2 乘上 y+2。

$$-2y-4+5y=-16$$

將 -2y 加到 5y。

$$3y-4=-16$$

將 4 加到方程式的兩邊。

$$3y=-12$$

將兩邊同時除以 3。

$$y=-4$$

在 x=y+2 中以 -4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-4+2$$

將 2 加到 -4。

$$x=-2$$

現已成功解出系統。

$$x=-2,y=-4$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-5x+5y=-10,-2x+5y=-16$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-5\times 5-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-5\times 5-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-5\times 5-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-5\times 5-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-10\right)+\frac{1}{3}\left(-16\right)\\-\frac{2}{15}\left(-10\right)+\frac{1}{3}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-2,y=-4$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-5x+5y=-10,-2x+5y=-16$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -5x+5y=-10 減去 -2x+5y=-16。

$$-5x+2x+5y-5y=-10+16$$

將 5y 加到 -5y。 5y 和 -5y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-5x+2x=-10+16$$

將 -5x 加到 2x。

$$-3x=-10+16$$

將 -10 加到 16。

$$-3x=6$$

將兩邊同時除以 -3。

$$x=-2$$

在 -2x+5y=-16 中以 -2 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$-2\left(-2\right)+5y=-16$$

-2 乘上 -2。

$$4+5y=-16$$

從方程式兩邊減去 4。

$$5y=-20$$

將兩邊同時除以 5。

$$y=-4$$

現已成功解出系統。

$$x=-2,y=-4$$