解決{l}{-5x+13y=-7}{5x+4y=24} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 13 y = - 7 } \\ { 5 x + 4 y = 24 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=4$$

$$y=1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-5x+13y=-7,5x+4y=24$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-5x+13y=-7$$

從方程式兩邊減去 13y。

$$-5x=-13y-7$$

將兩邊同時除以 -5。

$$x=-\frac{1}{5}\left(-13y-7\right)$$

-\frac{1}{5} 乘上 -13y-7。

$$x=\frac{13}{5}y+\frac{7}{5}$$

在另一個方程式 5x+4y=24 中以 \frac{13y+7}{5} 代入 x在方程式。

$$5\left(\frac{13}{5}y+\frac{7}{5}\right)+4y=24$$

5 乘上 \frac{13y+7}{5}。

$$13y+7+4y=24$$

將 13y 加到 4y。

$$17y+7=24$$

從方程式兩邊減去 7。

$$17y=17$$

將兩邊同時除以 17。

$$y=1$$

在 x=\frac{13}{5}y+\frac{7}{5} 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{13+7}{5}$$

將 \frac{7}{5} 與 \frac{13}{5} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=4$$

現已成功解出系統。

$$x=4,y=1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-5x+13y=-7,5x+4y=24$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-5\times 4-13\times 5}&-\frac{13}{-5\times 4-13\times 5}\\-\frac{5}{-5\times 4-13\times 5}&-\frac{5}{-5\times 4-13\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{85}&\frac{13}{85}\\\frac{1}{17}&\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{85}\left(-7\right)+\frac{13}{85}\times 24\\\frac{1}{17}\left(-7\right)+\frac{1}{17}\times 24\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=4,y=1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-5x+13y=-7,5x+4y=24$$

讓 -5x 和 5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -5。

$$5\left(-5\right)x+5\times 13y=5\left(-7\right),-5\times 5x-5\times 4y=-5\times 24$$

化簡。

$$-25x+65y=-35,-25x-20y=-120$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -25x+65y=-35 減去 -25x-20y=-120。

$$-25x+25x+65y+20y=-35+120$$

將 -25x 加到 25x。 -25x 和 25x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$65y+20y=-35+120$$

將 65y 加到 20y。

$$85y=-35+120$$

將 -35 加到 120。

$$85y=85$$

將兩邊同時除以 85。

$$y=1$$

在 5x+4y=24 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$5x+4=24$$

從方程式兩邊減去 4。

$$5x=20$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=4$$

現已成功解出系統。

$$x=4,y=1$$