解決{l}{-5x+10y=15}{-5x+2y=-1} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 10 y = 15 } \\ { - 5 x + 2 y = - 1 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-5x+10y=15,-5x+2y=-1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-5x+10y=15$$

從方程式兩邊減去 10y。

$$-5x=-10y+15$$

將兩邊同時除以 -5。

$$x=-\frac{1}{5}\left(-10y+15\right)$$

-\frac{1}{5} 乘上 -10y+15。

$$x=2y-3$$

在另一個方程式 -5x+2y=-1 中以 2y-3 代入 x在方程式。

$$-5\left(2y-3\right)+2y=-1$$

-5 乘上 2y-3。

$$-10y+15+2y=-1$$

將 -10y 加到 2y。

$$-8y+15=-1$$

從方程式兩邊減去 15。

$$-8y=-16$$

將兩邊同時除以 -8。

$$y=2$$

在 x=2y-3 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=2\times 2-3$$

2 乘上 2。

$$x=4-3$$

將 -3 加到 4。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-5x+10y=15,-5x+2y=-1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-10\left(-5\right)}&-\frac{10}{-5\times 2-10\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{-5\times 2-10\left(-5\right)}&-\frac{5}{-5\times 2-10\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}\times 15-\frac{1}{4}\left(-1\right)\\\frac{1}{8}\times 15-\frac{1}{8}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=1,y=2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-5x+10y=15,-5x+2y=-1$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -5x+10y=15 減去 -5x+2y=-1。

$$-5x+5x+10y-2y=15+1$$

將 -5x 加到 5x。 -5x 和 5x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$10y-2y=15+1$$

將 10y 加到 -2y。

$$8y=15+1$$

將 15 加到 1。

$$8y=16$$

將兩邊同時除以 8。

$$y=2$$

在 -5x+2y=-1 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-5x+2\times 2=-1$$

2 乘上 2。

$$-5x+4=-1$$

從方程式兩邊減去 4。

$$-5x=-5$$

將兩邊同時除以 -5。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=2$$