解決{l}{-5*(x-y)+3y=2x}{2y-(6x+7)=-2} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 \cdot ( x - y ) + 3 y = 2 x } \\ { 2 y - ( 6 x + 7 ) = - 2 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = -\frac{20}{17} = -1\frac{3}{17} \approx -1.176470588$$

$$y = -\frac{35}{34} = -1\frac{1}{34} \approx -1.029411765$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 計算 -5 乘上 x-y 時使用乘法分配律。

$$-5x+5y+3y=2x$$

合併 5y 和 3y 以取得 8y。

$$-5x+8y=2x$$

從兩邊減去 2x。

$$-5x+8y-2x=0$$

合併 -5x 和 -2x 以取得 -7x。

$$-7x+8y=0$$

考慮第二個方程式。 若要尋找 6x+7 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$2y-6x-7=-2$$

新增 7 至兩側。

$$2y-6x=-2+7$$

將 -2 與 7 相加可以得到 5。

$$2y-6x=5$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-7x+8y=0$$

從方程式兩邊減去 8y。

$$-7x=-8y$$

將兩邊同時除以 -7。

$$x=-\frac{1}{7}\left(-8\right)y$$

-\frac{1}{7} 乘上 -8y。

$$x=\frac{8}{7}y$$

在另一個方程式 -6x+2y=5 中以 \frac{8y}{7} 代入 x在方程式。

$$-6\times \frac{8}{7}y+2y=5$$

-6 乘上 \frac{8y}{7}。

$$-\frac{48}{7}y+2y=5$$

將 -\frac{48y}{7} 加到 2y。

$$-\frac{34}{7}y=5$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{34}{7}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{35}{34}$$

在 x=\frac{8}{7}y 中以 -\frac{35}{34} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{8}{7}\left(-\frac{35}{34}\right)$$

\frac{8}{7} 乘上 -\frac{35}{34} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{20}{17}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 計算 -5 乘上 x-y 時使用乘法分配律。

$$-5x+5y+3y=2x$$

合併 5y 和 3y 以取得 8y。

$$-5x+8y=2x$$

從兩邊減去 2x。

$$-5x+8y-2x=0$$

合併 -5x 和 -2x 以取得 -7x。

$$-7x+8y=0$$

考慮第二個方程式。 若要尋找 6x+7 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$2y-6x-7=-2$$

新增 7 至兩側。

$$2y-6x=-2+7$$

將 -2 與 7 相加可以得到 5。

$$2y-6x=5$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-7\times 2-8\left(-6\right)}&-\frac{8}{-7\times 2-8\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{-7\times 2-8\left(-6\right)}&-\frac{7}{-7\times 2-8\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&-\frac{4}{17}\\\frac{3}{17}&-\frac{7}{34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{17}\times 5\\-\frac{7}{34}\times 5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{17}\\-\frac{35}{34}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 計算 -5 乘上 x-y 時使用乘法分配律。

$$-5x+5y+3y=2x$$

合併 5y 和 3y 以取得 8y。

$$-5x+8y=2x$$

從兩邊減去 2x。

$$-5x+8y-2x=0$$

合併 -5x 和 -2x 以取得 -7x。

$$-7x+8y=0$$

考慮第二個方程式。 若要尋找 6x+7 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$2y-6x-7=-2$$

新增 7 至兩側。

$$2y-6x=-2+7$$

將 -2 與 7 相加可以得到 5。

$$2y-6x=5$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

讓 -7x 和 -6x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -6，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -7。

$$-6\left(-7\right)x-6\times 8y=0,-7\left(-6\right)x-7\times 2y=-7\times 5$$

化簡。

$$42x-48y=0,42x-14y=-35$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 42x-48y=0 減去 42x-14y=-35。

$$42x-42x-48y+14y=35$$

將 42x 加到 -42x。 42x 和 -42x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-48y+14y=35$$

將 -48y 加到 14y。

$$-34y=35$$

將兩邊同時除以 -34。

$$y=-\frac{35}{34}$$

在 -6x+2y=5 中以 -\frac{35}{34} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-6x+2\left(-\frac{35}{34}\right)=5$$

2 乘上 -\frac{35}{34}。

$$-6x-\frac{35}{17}=5$$

將 \frac{35}{17} 加到方程式的兩邊。

$$-6x=\frac{120}{17}$$

將兩邊同時除以 -6。

$$x=-\frac{20}{17}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$