解決{l}{-4x-10y=20}{8x+10y=20} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x - 10 y = 20 } \\ { 8 x + 10 y = 20 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=10$$

$$y=-6$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-4x-10y=20$$

將 10y 加到方程式的兩邊。

$$-4x=10y+20$$

將兩邊同時除以 -4。

$$x=-\frac{1}{4}\left(10y+20\right)$$

-\frac{1}{4} 乘上 20+10y。

$$x=-\frac{5}{2}y-5$$

在另一個方程式 8x+10y=20 中以 -\frac{5y}{2}-5 代入 x在方程式。

$$8\left(-\frac{5}{2}y-5\right)+10y=20$$

8 乘上 -\frac{5y}{2}-5。

$$-20y-40+10y=20$$

將 -20y 加到 10y。

$$-10y-40=20$$

將 40 加到方程式的兩邊。

$$-10y=60$$

將兩邊同時除以 -10。

$$y=-6$$

在 x=-\frac{5}{2}y-5 中以 -6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{5}{2}\left(-6\right)-5$$

-\frac{5}{2} 乘上 -6。

$$x=15-5$$

將 -5 加到 15。

$$x=10$$

現已成功解出系統。

$$x=10,y=-6$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}&-\frac{-10}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}\\-\frac{8}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}&-\frac{4}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 20+\frac{1}{4}\times 20\\-\frac{1}{5}\times 20-\frac{1}{10}\times 20\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-6\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=10,y=-6$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

讓 -4x 和 8x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 8，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -4。

$$8\left(-4\right)x+8\left(-10\right)y=8\times 20,-4\times 8x-4\times 10y=-4\times 20$$

化簡。

$$-32x-80y=160,-32x-40y=-80$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -32x-80y=160 減去 -32x-40y=-80。

$$-32x+32x-80y+40y=160+80$$

將 -32x 加到 32x。 -32x 和 32x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-80y+40y=160+80$$

將 -80y 加到 40y。

$$-40y=160+80$$

將 160 加到 80。

$$-40y=240$$

將兩邊同時除以 -40。

$$y=-6$$

在 8x+10y=20 中以 -6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$8x+10\left(-6\right)=20$$

10 乘上 -6。

$$8x-60=20$$

將 60 加到方程式的兩邊。

$$8x=80$$

將兩邊同時除以 8。

$$x=10$$

現已成功解出系統。

$$x=10,y=-6$$