解決{l}{-4x+y=6}{-5x-y=21} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x + y = 6 } \\ { - 5 x - y = 21 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-3$$

$$y=-6$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-4x+y=6,-5x-y=21$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-4x+y=6$$

從方程式兩邊減去 y。

$$-4x=-y+6$$

將兩邊同時除以 -4。

$$x=-\frac{1}{4}\left(-y+6\right)$$

-\frac{1}{4} 乘上 -y+6。

$$x=\frac{1}{4}y-\frac{3}{2}$$

在另一個方程式 -5x-y=21 中以 \frac{y}{4}-\frac{3}{2} 代入 x在方程式。

$$-5\left(\frac{1}{4}y-\frac{3}{2}\right)-y=21$$

-5 乘上 \frac{y}{4}-\frac{3}{2}。

$$-\frac{5}{4}y+\frac{15}{2}-y=21$$

將 -\frac{5y}{4} 加到 -y。

$$-\frac{9}{4}y+\frac{15}{2}=21$$

從方程式兩邊減去 \frac{15}{2}。

$$-\frac{9}{4}y=\frac{27}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{9}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-6$$

在 x=\frac{1}{4}y-\frac{3}{2} 中以 -6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{4}\left(-6\right)-\frac{3}{2}$$

\frac{1}{4} 乘上 -6。

$$x=\frac{-3-3}{2}$$

將 -\frac{3}{2} 與 -\frac{3}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-3$$

現已成功解出系統。

$$x=-3,y=-6$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-4x+y=6,-5x-y=21$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\21\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\21\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\21\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\21\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-4\left(-1\right)-\left(-5\right)}&-\frac{1}{-4\left(-1\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{-4\left(-1\right)-\left(-5\right)}&-\frac{4}{-4\left(-1\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\21\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\\\frac{5}{9}&-\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\21\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\times 6-\frac{1}{9}\times 21\\\frac{5}{9}\times 6-\frac{4}{9}\times 21\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-3,y=-6$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-4x+y=6,-5x-y=21$$

讓 -4x 和 -5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -4。

$$-5\left(-4\right)x-5y=-5\times 6,-4\left(-5\right)x-4\left(-1\right)y=-4\times 21$$

化簡。

$$20x-5y=-30,20x+4y=-84$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 20x-5y=-30 減去 20x+4y=-84。

$$20x-20x-5y-4y=-30+84$$

將 20x 加到 -20x。 20x 和 -20x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-5y-4y=-30+84$$

將 -5y 加到 -4y。

$$-9y=-30+84$$

將 -30 加到 84。

$$-9y=54$$

將兩邊同時除以 -9。

$$y=-6$$

在 -5x-y=21 中以 -6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-5x-\left(-6\right)=21$$

從方程式兩邊減去 6。

$$-5x=15$$

將兩邊同時除以 -5。

$$x=-3$$

現已成功解出系統。

$$x=-3,y=-6$$