解決{l}{-4x+9y=9}{x-3y=-6} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x + 9 y = 9 } \\ { x - 3 y = - 6 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=9$$

$$y=5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-4x+9y=9,x-3y=-6$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-4x+9y=9$$

從方程式兩邊減去 9y。

$$-4x=-9y+9$$

將兩邊同時除以 -4。

$$x=-\frac{1}{4}\left(-9y+9\right)$$

-\frac{1}{4} 乘上 -9y+9。

$$x=\frac{9}{4}y-\frac{9}{4}$$

在另一個方程式 x-3y=-6 中以 \frac{-9+9y}{4} 代入 x在方程式。

$$\frac{9}{4}y-\frac{9}{4}-3y=-6$$

將 \frac{9y}{4} 加到 -3y。

$$-\frac{3}{4}y-\frac{9}{4}=-6$$

將 \frac{9}{4} 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{3}{4}y=-\frac{15}{4}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{3}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=5$$

在 x=\frac{9}{4}y-\frac{9}{4} 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{9}{4}\times 5-\frac{9}{4}$$

\frac{9}{4} 乘上 5。

$$x=\frac{45-9}{4}$$

將 -\frac{9}{4} 與 \frac{45}{4} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=9$$

現已成功解出系統。

$$x=9,y=5$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-4x+9y=9,x-3y=-6$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-4\left(-3\right)-9}&-\frac{9}{-4\left(-3\right)-9}\\-\frac{1}{-4\left(-3\right)-9}&-\frac{4}{-4\left(-3\right)-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-3\\-\frac{1}{3}&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9-3\left(-6\right)\\-\frac{1}{3}\times 9-\frac{4}{3}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=9,y=5$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-4x+9y=9,x-3y=-6$$

讓 -4x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -4。

$$-4x+9y=9,-4x-4\left(-3\right)y=-4\left(-6\right)$$

化簡。

$$-4x+9y=9,-4x+12y=24$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -4x+9y=9 減去 -4x+12y=24。

$$-4x+4x+9y-12y=9-24$$

將 -4x 加到 4x。 -4x 和 4x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$9y-12y=9-24$$

將 9y 加到 -12y。

$$-3y=9-24$$

將 9 加到 -24。

$$-3y=-15$$

將兩邊同時除以 -3。

$$y=5$$

在 x-3y=-6 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x-3\times 5=-6$$

-3 乘上 5。

$$x-15=-6$$

將 15 加到方程式的兩邊。

$$x=9$$

現已成功解出系統。

$$x=9,y=5$$