解決{l}{-4x+5y=24}{y=2x} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x + 5 y = 24 } \\ { y = 2 x } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=4$$

$$y=8$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 2x。

$$y-2x=0$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-4x+5y=24,-2x+y=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-4x+5y=24$$

從方程式兩邊減去 5y。

$$-4x=-5y+24$$

將兩邊同時除以 -4。

$$x=-\frac{1}{4}\left(-5y+24\right)$$

-\frac{1}{4} 乘上 -5y+24。

$$x=\frac{5}{4}y-6$$

在另一個方程式 -2x+y=0 中以 \frac{5y}{4}-6 代入 x在方程式。

$$-2\left(\frac{5}{4}y-6\right)+y=0$$

-2 乘上 \frac{5y}{4}-6。

$$-\frac{5}{2}y+12+y=0$$

將 -\frac{5y}{2} 加到 y。

$$-\frac{3}{2}y+12=0$$

從方程式兩邊減去 12。

$$-\frac{3}{2}y=-12$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{3}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=8$$

在 x=\frac{5}{4}y-6 中以 8 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{5}{4}\times 8-6$$

\frac{5}{4} 乘上 8。

$$x=10-6$$

將 -6 加到 10。

$$x=4$$

現已成功解出系統。

$$x=4,y=8$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 2x。

$$y-2x=0$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-4x+5y=24,-2x+y=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-4-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-4-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-4-5\left(-2\right)}&-\frac{4}{-4-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{5}{6}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 24\\\frac{1}{3}\times 24\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=4,y=8$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 2x。

$$y-2x=0$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-4x+5y=24,-2x+y=0$$

讓 -4x 和 -2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -4。

$$-2\left(-4\right)x-2\times 5y=-2\times 24,-4\left(-2\right)x-4y=0$$

化簡。

$$8x-10y=-48,8x-4y=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 8x-10y=-48 減去 8x-4y=0。

$$8x-8x-10y+4y=-48$$

將 8x 加到 -8x。 8x 和 -8x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-10y+4y=-48$$

將 -10y 加到 4y。

$$-6y=-48$$

將兩邊同時除以 -6。

$$y=8$$

在 -2x+y=0 中以 8 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-2x+8=0$$

從方程式兩邊減去 8。

$$-2x=-8$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=4$$

現已成功解出系統。

$$x=4,y=8$$