解決{l}{-4x+3y=-5}{-7x+3y=-20} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x + 3 y = - 5 } \\ { - 7 x + 3 y = - 20 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=5$$

$$y=5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-4x+3y=-5,-7x+3y=-20$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-4x+3y=-5$$

從方程式兩邊減去 3y。

$$-4x=-3y-5$$

將兩邊同時除以 -4。

$$x=-\frac{1}{4}\left(-3y-5\right)$$

-\frac{1}{4} 乘上 -3y-5。

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}$$

在另一個方程式 -7x+3y=-20 中以 \frac{3y+5}{4} 代入 x在方程式。

$$-7\left(\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}\right)+3y=-20$$

-7 乘上 \frac{3y+5}{4}。

$$-\frac{21}{4}y-\frac{35}{4}+3y=-20$$

將 -\frac{21y}{4} 加到 3y。

$$-\frac{9}{4}y-\frac{35}{4}=-20$$

將 \frac{35}{4} 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{9}{4}y=-\frac{45}{4}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{9}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=5$$

在 x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{4} 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{3}{4}\times 5+\frac{5}{4}$$

\frac{3}{4} 乘上 5。

$$x=\frac{15+5}{4}$$

將 \frac{5}{4} 與 \frac{15}{4} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=5$$

現已成功解出系統。

$$x=5,y=5$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-4x+3y=-5,-7x+3y=-20$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-4\times 3-3\left(-7\right)}&-\frac{3}{-4\times 3-3\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{-4\times 3-3\left(-7\right)}&-\frac{4}{-4\times 3-3\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{7}{9}&-\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-5\right)-\frac{1}{3}\left(-20\right)\\\frac{7}{9}\left(-5\right)-\frac{4}{9}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=5,y=5$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-4x+3y=-5,-7x+3y=-20$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -4x+3y=-5 減去 -7x+3y=-20。

$$-4x+7x+3y-3y=-5+20$$

將 3y 加到 -3y。 3y 和 -3y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-4x+7x=-5+20$$

將 -4x 加到 7x。

$$3x=-5+20$$

將 -5 加到 20。

$$3x=15$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=5$$

在 -7x+3y=-20 中以 5 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$-7\times 5+3y=-20$$

-7 乘上 5。

$$-35+3y=-20$$

將 35 加到方程式的兩邊。

$$3y=15$$

將兩邊同時除以 3。

$$y=5$$

現已成功解出系統。

$$x=5,y=5$$