解決{l}{-3x+9y=27}{-5x-8y=-1} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 9 y = 27 } \\ { - 5 x - 8 y = - 1 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-3$$

$$y=2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-3x+9y=27,-5x-8y=-1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-3x+9y=27$$

從方程式兩邊減去 9y。

$$-3x=-9y+27$$

將兩邊同時除以 -3。

$$x=-\frac{1}{3}\left(-9y+27\right)$$

-\frac{1}{3} 乘上 -9y+27。

$$x=3y-9$$

在另一個方程式 -5x-8y=-1 中以 -9+3y 代入 x在方程式。

$$-5\left(3y-9\right)-8y=-1$$

-5 乘上 -9+3y。

$$-15y+45-8y=-1$$

將 -15y 加到 -8y。

$$-23y+45=-1$$

從方程式兩邊減去 45。

$$-23y=-46$$

將兩邊同時除以 -23。

$$y=2$$

在 x=3y-9 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=3\times 2-9$$

3 乘上 2。

$$x=6-9$$

將 -9 加到 6。

$$x=-3$$

現已成功解出系統。

$$x=-3,y=2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-3x+9y=27,-5x-8y=-1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\-1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-3\left(-8\right)-9\left(-5\right)}&-\frac{9}{-3\left(-8\right)-9\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{-3\left(-8\right)-9\left(-5\right)}&-\frac{3}{-3\left(-8\right)-9\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\-1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{69}&-\frac{3}{23}\\\frac{5}{69}&-\frac{1}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{69}\times 27-\frac{3}{23}\left(-1\right)\\\frac{5}{69}\times 27-\frac{1}{23}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-3,y=2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-3x+9y=27,-5x-8y=-1$$

讓 -3x 和 -5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -3。

$$-5\left(-3\right)x-5\times 9y=-5\times 27,-3\left(-5\right)x-3\left(-8\right)y=-3\left(-1\right)$$

化簡。

$$15x-45y=-135,15x+24y=3$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 15x-45y=-135 減去 15x+24y=3。

$$15x-15x-45y-24y=-135-3$$

將 15x 加到 -15x。 15x 和 -15x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-45y-24y=-135-3$$

將 -45y 加到 -24y。

$$-69y=-135-3$$

將 -135 加到 -3。

$$-69y=-138$$

將兩邊同時除以 -69。

$$y=2$$

在 -5x-8y=-1 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-5x-8\times 2=-1$$

-8 乘上 2。

$$-5x-16=-1$$

將 16 加到方程式的兩邊。

$$-5x=15$$

將兩邊同時除以 -5。

$$x=-3$$

現已成功解出系統。

$$x=-3,y=2$$