解決{l}{-3x+4y=-6}{5x-y=10} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 4 y = - 6 } \\ { 5 x - y = 10 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=2$$

$$y=0$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-3x+4y=-6,5x-y=10$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-3x+4y=-6$$

從方程式兩邊減去 4y。

$$-3x=-4y-6$$

將兩邊同時除以 -3。

$$x=-\frac{1}{3}\left(-4y-6\right)$$

-\frac{1}{3} 乘上 -4y-6。

$$x=\frac{4}{3}y+2$$

在另一個方程式 5x-y=10 中以 \frac{4y}{3}+2 代入 x在方程式。

$$5\left(\frac{4}{3}y+2\right)-y=10$$

5 乘上 \frac{4y}{3}+2。

$$\frac{20}{3}y+10-y=10$$

將 \frac{20y}{3} 加到 -y。

$$\frac{17}{3}y+10=10$$

從方程式兩邊減去 10。

$$\frac{17}{3}y=0$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{17}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=0$$

在 x=\frac{4}{3}y+2 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=0$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-3x+4y=-6,5x-y=10$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-3&4\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\10\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-3&4\\5&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&4\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\10\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\10\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\10\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-3\left(-1\right)-4\times 5}&-\frac{4}{-3\left(-1\right)-4\times 5}\\-\frac{5}{-3\left(-1\right)-4\times 5}&-\frac{3}{-3\left(-1\right)-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&\frac{4}{17}\\\frac{5}{17}&\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\10\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\left(-6\right)+\frac{4}{17}\times 10\\\frac{5}{17}\left(-6\right)+\frac{3}{17}\times 10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=2,y=0$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-3x+4y=-6,5x-y=10$$

讓 -3x 和 5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -3。

$$5\left(-3\right)x+5\times 4y=5\left(-6\right),-3\times 5x-3\left(-1\right)y=-3\times 10$$

化簡。

$$-15x+20y=-30,-15x+3y=-30$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -15x+20y=-30 減去 -15x+3y=-30。

$$-15x+15x+20y-3y=-30+30$$

將 -15x 加到 15x。 -15x 和 15x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$20y-3y=-30+30$$

將 20y 加到 -3y。

$$17y=-30+30$$

將 -30 加到 30。

$$17y=0$$

將兩邊同時除以 17。

$$y=0$$

在 5x-y=10 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$5x=10$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=0$$