解決{l}{-3x+3y=-9}{6x-y=-12} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 3 y = - 9 } \\ { 6 x - y = - 12 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-3$$

$$y=-6$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-3x+3y=-9,6x-y=-12$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-3x+3y=-9$$

從方程式兩邊減去 3y。

$$-3x=-3y-9$$

將兩邊同時除以 -3。

$$x=-\frac{1}{3}\left(-3y-9\right)$$

-\frac{1}{3} 乘上 -3y-9。

$$x=y+3$$

在另一個方程式 6x-y=-12 中以 y+3 代入 x在方程式。

$$6\left(y+3\right)-y=-12$$

6 乘上 y+3。

$$6y+18-y=-12$$

將 6y 加到 -y。

$$5y+18=-12$$

從方程式兩邊減去 18。

$$5y=-30$$

將兩邊同時除以 5。

$$y=-6$$

在 x=y+3 中以 -6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-6+3$$

將 3 加到 -6。

$$x=-3$$

現已成功解出系統。

$$x=-3,y=-6$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-3x+3y=-9,6x-y=-12$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-3\left(-1\right)-3\times 6}&-\frac{3}{-3\left(-1\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{-3\left(-1\right)-3\times 6}&-\frac{3}{-3\left(-1\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\left(-9\right)+\frac{1}{5}\left(-12\right)\\\frac{2}{5}\left(-9\right)+\frac{1}{5}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-3,y=-6$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-3x+3y=-9,6x-y=-12$$

讓 -3x 和 6x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 6，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -3。

$$6\left(-3\right)x+6\times 3y=6\left(-9\right),-3\times 6x-3\left(-1\right)y=-3\left(-12\right)$$

化簡。

$$-18x+18y=-54,-18x+3y=36$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -18x+18y=-54 減去 -18x+3y=36。

$$-18x+18x+18y-3y=-54-36$$

將 -18x 加到 18x。 -18x 和 18x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$18y-3y=-54-36$$

將 18y 加到 -3y。

$$15y=-54-36$$

將 -54 加到 -36。

$$15y=-90$$

將兩邊同時除以 15。

$$y=-6$$

在 6x-y=-12 中以 -6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$6x-\left(-6\right)=-12$$

從方程式兩邊減去 6。

$$6x=-18$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=-3$$

現已成功解出系統。

$$x=-3,y=-6$$