解決{l}{-3x+3y=-3}{x-9y=-15} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 3 y = - 3 } \\ { x - 9 y = - 15 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=3$$

$$y=2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-3x+3y=-3,x-9y=-15$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-3x+3y=-3$$

從方程式兩邊減去 3y。

$$-3x=-3y-3$$

將兩邊同時除以 -3。

$$x=-\frac{1}{3}\left(-3y-3\right)$$

-\frac{1}{3} 乘上 -3y-3。

$$x=y+1$$

在另一個方程式 x-9y=-15 中以 y+1 代入 x在方程式。

$$y+1-9y=-15$$

將 y 加到 -9y。

$$-8y+1=-15$$

從方程式兩邊減去 1。

$$-8y=-16$$

將兩邊同時除以 -8。

$$y=2$$

在 x=y+1 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=2+1$$

將 1 加到 2。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-3x+3y=-3,x-9y=-15$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-3\left(-9\right)-3}&-\frac{3}{-3\left(-9\right)-3}\\-\frac{1}{-3\left(-9\right)-3}&-\frac{3}{-3\left(-9\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{24}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{8}\left(-3\right)-\frac{1}{8}\left(-15\right)\\-\frac{1}{24}\left(-3\right)-\frac{1}{8}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=3,y=2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-3x+3y=-3,x-9y=-15$$

讓 -3x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -3。

$$-3x+3y=-3,-3x-3\left(-9\right)y=-3\left(-15\right)$$

化簡。

$$-3x+3y=-3,-3x+27y=45$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -3x+3y=-3 減去 -3x+27y=45。

$$-3x+3x+3y-27y=-3-45$$

將 -3x 加到 3x。 -3x 和 3x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$3y-27y=-3-45$$

將 3y 加到 -27y。

$$-24y=-3-45$$

將 -3 加到 -45。

$$-24y=-48$$

將兩邊同時除以 -24。

$$y=2$$

在 x-9y=-15 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x-9\times 2=-15$$

-9 乘上 2。

$$x-18=-15$$

將 18 加到方程式的兩邊。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=2$$