解決{l}{-2x-6y=-26}{5x+2y=13} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x - 6 y = - 26 } \\ { 5 x + 2 y = 13 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=1$$

$$y=4$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-2x-6y=-26,5x+2y=13$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-2x-6y=-26$$

將 6y 加到方程式的兩邊。

$$-2x=6y-26$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=-\frac{1}{2}\left(6y-26\right)$$

-\frac{1}{2} 乘上 6y-26。

$$x=-3y+13$$

在另一個方程式 5x+2y=13 中以 -3y+13 代入 x在方程式。

$$5\left(-3y+13\right)+2y=13$$

5 乘上 -3y+13。

$$-15y+65+2y=13$$

將 -15y 加到 2y。

$$-13y+65=13$$

從方程式兩邊減去 65。

$$-13y=-52$$

將兩邊同時除以 -13。

$$y=4$$

在 x=-3y+13 中以 4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-3\times 4+13$$

-3 乘上 4。

$$x=-12+13$$

將 13 加到 -12。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=4$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-2x-6y=-26,5x+2y=13$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-2&-6\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-26\\13\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-2&-6\\5&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-6\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-6\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-6\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\13\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-6\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\13\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-6\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\13\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2\times 2-\left(-6\times 5\right)}&-\frac{-6}{-2\times 2-\left(-6\times 5\right)}\\-\frac{5}{-2\times 2-\left(-6\times 5\right)}&-\frac{2}{-2\times 2-\left(-6\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-26\\13\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{5}{26}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-26\\13\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-26\right)+\frac{3}{13}\times 13\\-\frac{5}{26}\left(-26\right)-\frac{1}{13}\times 13\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=1,y=4$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-2x-6y=-26,5x+2y=13$$

讓 -2x 和 5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2。

$$5\left(-2\right)x+5\left(-6\right)y=5\left(-26\right),-2\times 5x-2\times 2y=-2\times 13$$

化簡。

$$-10x-30y=-130,-10x-4y=-26$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -10x-30y=-130 減去 -10x-4y=-26。

$$-10x+10x-30y+4y=-130+26$$

將 -10x 加到 10x。 -10x 和 10x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-30y+4y=-130+26$$

將 -30y 加到 4y。

$$-26y=-130+26$$

將 -130 加到 26。

$$-26y=-104$$

將兩邊同時除以 -26。

$$y=4$$

在 5x+2y=13 中以 4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$5x+2\times 4=13$$

2 乘上 4。

$$5x+8=13$$

從方程式兩邊減去 8。

$$5x=5$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=4$$