解決{l}{-2x-2y=4}{y=-x/5+2} |Microsoft數學求解器

解 x、y

圖表

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y+\frac{x}{5}=2

考慮第二個方程式。新增 \frac{x}{5} 至兩側。

5y+x=10

對方程式兩邊同時乘上 5。

-2x-2y=4,x+5y=10

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

-2x-2y=4

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

-2x=2y+4

將 2y 加到方程式的兩邊。

x=-\frac{1}{2}\left(2y+4\right)

將兩邊同時除以 -2。

x=-y-2

-\frac{1}{2} 乘上 4+2y。

-y-2+5y=10

在另一個方程式 x+5y=10 中以 -y-2 代入 x在方程式。

4y-2=10

將 -y 加到 5y。

4y=12

將 2 加到方程式的兩邊。

y=3

將兩邊同時除以 4。

x=-3-2

在 x=-y-2 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

x=-5

將 -2 加到 -3。

x=-5,y=3

現已成功解出系統。

y+\frac{x}{5}=2

考慮第二個方程式。新增 \frac{x}{5} 至兩側。

5y+x=10

對方程式兩邊同時乘上 5。

-2x-2y=4,x+5y=10

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}-2&-2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}-2&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-2&-2\\1&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-2\times 5-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{-2\times 5-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{-2\times 5-\left(-2\right)}&-\frac{2}{-2\times 5-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}\times 4-\frac{1}{4}\times 10\\\frac{1}{8}\times 4+\frac{1}{4}\times 10\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)

計算。

x=-5,y=3

解出矩陣元素 x 和 y。

y+\frac{x}{5}=2

考慮第二個方程式。新增 \frac{x}{5} 至兩側。

5y+x=10

對方程式兩邊同時乘上 5。

-2x-2y=4,x+5y=10

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

-2x-2y=4,-2x-2\times 5y=-2\times 10