解決{l}{-2x+y=71+2x}{9x+1y=-14} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + y = 71 + 2 x } \\ { 9 x + 1 y = - 14 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = -\frac{85}{13} = -6\frac{7}{13} \approx -6.538461538$$

$$y = \frac{583}{13} = 44\frac{11}{13} \approx 44.846153846$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 2x。

$$-2x+y-2x=71$$

合併 -2x 和 -2x 以取得 -4x。

$$-4x+y=71$$

考慮第二個方程式。 重新排列各項。

$$9x+y=-14$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-4x+y=71,9x+y=-14$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-4x+y=71$$

從方程式兩邊減去 y。

$$-4x=-y+71$$

將兩邊同時除以 -4。

$$x=-\frac{1}{4}\left(-y+71\right)$$

-\frac{1}{4} 乘上 -y+71。

$$x=\frac{1}{4}y-\frac{71}{4}$$

在另一個方程式 9x+y=-14 中以 \frac{-71+y}{4} 代入 x在方程式。

$$9\left(\frac{1}{4}y-\frac{71}{4}\right)+y=-14$$

9 乘上 \frac{-71+y}{4}。

$$\frac{9}{4}y-\frac{639}{4}+y=-14$$

將 \frac{9y}{4} 加到 y。

$$\frac{13}{4}y-\frac{639}{4}=-14$$

將 \frac{639}{4} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{13}{4}y=\frac{583}{4}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{13}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{583}{13}$$

在 x=\frac{1}{4}y-\frac{71}{4} 中以 \frac{583}{13} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{4}\times \frac{583}{13}-\frac{71}{4}$$

\frac{1}{4} 乘上 \frac{583}{13} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{583}{52}-\frac{71}{4}$$

將 -\frac{71}{4} 與 \frac{583}{52} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-\frac{85}{13}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{85}{13},y=\frac{583}{13}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 2x。

$$-2x+y-2x=71$$

合併 -2x 和 -2x 以取得 -4x。

$$-4x+y=71$$

考慮第二個方程式。 重新排列各項。

$$9x+y=-14$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-4x+y=71,9x+y=-14$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-4&1\\9&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}71\\-14\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-4&1\\9&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&1\\9&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\-14\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\-14\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\-14\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-4-9}&-\frac{1}{-4-9}\\-\frac{9}{-4-9}&-\frac{4}{-4-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}71\\-14\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{9}{13}&\frac{4}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}71\\-14\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 71+\frac{1}{13}\left(-14\right)\\\frac{9}{13}\times 71+\frac{4}{13}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{85}{13}\\\frac{583}{13}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{85}{13},y=\frac{583}{13}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 2x。

$$-2x+y-2x=71$$

合併 -2x 和 -2x 以取得 -4x。

$$-4x+y=71$$

考慮第二個方程式。 重新排列各項。

$$9x+y=-14$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-4x+y=71,9x+y=-14$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -4x+y=71 減去 9x+y=-14。

$$-4x-9x+y-y=71+14$$

將 y 加到 -y。 y 和 -y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-4x-9x=71+14$$

將 -4x 加到 -9x。

$$-13x=71+14$$

將 71 加到 14。

$$-13x=85$$

將兩邊同時除以 -13。

$$x=-\frac{85}{13}$$

在 9x+y=-14 中以 -\frac{85}{13} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$9\left(-\frac{85}{13}\right)+y=-14$$

9 乘上 -\frac{85}{13}。

$$-\frac{765}{13}+y=-14$$

將 \frac{765}{13} 加到方程式的兩邊。

$$y=\frac{583}{13}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{85}{13},y=\frac{583}{13}$$