解決{l}{-2x+y=-1}{4x-y=-3} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + y = - 1 } \\ { 4 x - y = - 3 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-2$$

$$y=-5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-2x+y=-1,4x-y=-3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-2x+y=-1$$

從方程式兩邊減去 y。

$$-2x=-y-1$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=-\frac{1}{2}\left(-y-1\right)$$

-\frac{1}{2} 乘上 -y-1。

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

在另一個方程式 4x-y=-3 中以 \frac{1+y}{2} 代入 x在方程式。

$$4\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)-y=-3$$

4 乘上 \frac{1+y}{2}。

$$2y+2-y=-3$$

將 2y 加到 -y。

$$y+2=-3$$

從方程式兩邊減去 2。

$$y=-5$$

在 x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2} 中以 -5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{2}\left(-5\right)+\frac{1}{2}$$

\frac{1}{2} 乘上 -5。

$$x=\frac{-5+1}{2}$$

將 \frac{1}{2} 與 -\frac{5}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-2$$

現已成功解出系統。

$$x=-2,y=-5$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-2x+y=-1,4x-y=-3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-2&1\\4&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-2\left(-1\right)-4}&-\frac{1}{-2\left(-1\right)-4}\\-\frac{4}{-2\left(-1\right)-4}&-\frac{2}{-2\left(-1\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}\left(-3\right)\\2\left(-1\right)-3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-5\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-2,y=-5$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-2x+y=-1,4x-y=-3$$

讓 -2x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2。

$$4\left(-2\right)x+4y=4\left(-1\right),-2\times 4x-2\left(-1\right)y=-2\left(-3\right)$$

化簡。

$$-8x+4y=-4,-8x+2y=6$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -8x+4y=-4 減去 -8x+2y=6。

$$-8x+8x+4y-2y=-4-6$$

將 -8x 加到 8x。 -8x 和 8x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$4y-2y=-4-6$$

將 4y 加到 -2y。

$$2y=-4-6$$

將 -4 加到 -6。

$$2y=-10$$

將兩邊同時除以 2。

$$y=-5$$

在 4x-y=-3 中以 -5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x-\left(-5\right)=-3$$

從方程式兩邊減去 5。

$$4x=-8$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=-2$$

現已成功解出系統。

$$x=-2,y=-5$$