解決{l}{-2x+7y=4}{-4x+3y=2} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 7 y = 4 } \\ { - 4 x + 3 y = 2 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x=-\frac{1}{11}\approx -0.090909091$$

$$y=\frac{6}{11}\approx 0.545454545$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-2x+7y=4$$

從方程式兩邊減去 7y。

$$-2x=-7y+4$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=-\frac{1}{2}\left(-7y+4\right)$$

-\frac{1}{2} 乘上 -7y+4。

$$x=\frac{7}{2}y-2$$

在另一個方程式 -4x+3y=2 中以 \frac{7y}{2}-2 代入 x在方程式。

$$-4\left(\frac{7}{2}y-2\right)+3y=2$$

-4 乘上 \frac{7y}{2}-2。

$$-14y+8+3y=2$$

將 -14y 加到 3y。

$$-11y+8=2$$

從方程式兩邊減去 8。

$$-11y=-6$$

將兩邊同時除以 -11。

$$y=\frac{6}{11}$$

在 x=\frac{7}{2}y-2 中以 \frac{6}{11} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{7}{2}\times \frac{6}{11}-2$$

\frac{7}{2} 乘上 \frac{6}{11} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{21}{11}-2$$

將 -2 加到 \frac{21}{11}。

$$x=-\frac{1}{11}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-2\times 3-7\left(-4\right)}&-\frac{7}{-2\times 3-7\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{-2\times 3-7\left(-4\right)}&-\frac{2}{-2\times 3-7\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&-\frac{7}{22}\\\frac{2}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 4-\frac{7}{22}\times 2\\\frac{2}{11}\times 4-\frac{1}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\\\frac{6}{11}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

讓 -2x 和 -4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2。

$$-4\left(-2\right)x-4\times 7y=-4\times 4,-2\left(-4\right)x-2\times 3y=-2\times 2$$

化簡。

$$8x-28y=-16,8x-6y=-4$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 8x-28y=-16 減去 8x-6y=-4。

$$8x-8x-28y+6y=-16+4$$

將 8x 加到 -8x。 8x 和 -8x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-28y+6y=-16+4$$

將 -28y 加到 6y。

$$-22y=-16+4$$

將 -16 加到 4。

$$-22y=-12$$

將兩邊同時除以 -22。

$$y=\frac{6}{11}$$

在 -4x+3y=2 中以 \frac{6}{11} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-4x+3\times \frac{6}{11}=2$$

3 乘上 \frac{6}{11}。

$$-4x+\frac{18}{11}=2$$

從方程式兩邊減去 \frac{18}{11}。

$$-4x=\frac{4}{11}$$

將兩邊同時除以 -4。

$$x=-\frac{1}{11}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$