解決{l}{-2x+4y=14}{x-4y=-7} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 4 y = 14 } \\ { x - 4 y = - 7 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-7$$

$$y=0$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-2x+4y=14,x-4y=-7$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-2x+4y=14$$

從方程式兩邊減去 4y。

$$-2x=-4y+14$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=-\frac{1}{2}\left(-4y+14\right)$$

-\frac{1}{2} 乘上 -4y+14。

$$x=2y-7$$

在另一個方程式 x-4y=-7 中以 2y-7 代入 x在方程式。

$$2y-7-4y=-7$$

將 2y 加到 -4y。

$$-2y-7=-7$$

將 7 加到方程式的兩邊。

$$-2y=0$$

將兩邊同時除以 -2。

$$y=0$$

在 x=2y-7 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-7$$

現已成功解出系統。

$$x=-7,y=0$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-2x+4y=14,x-4y=-7$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-7\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-2&4\\1&-4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-7\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-7\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-7\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-2\left(-4\right)-4}&-\frac{4}{-2\left(-4\right)-4}\\-\frac{1}{-2\left(-4\right)-4}&-\frac{2}{-2\left(-4\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\-\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-7\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14-\left(-7\right)\\-\frac{1}{4}\times 14-\frac{1}{2}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\0\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-7,y=0$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-2x+4y=14,x-4y=-7$$

讓 -2x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2。

$$-2x+4y=14,-2x-2\left(-4\right)y=-2\left(-7\right)$$

化簡。

$$-2x+4y=14,-2x+8y=14$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -2x+4y=14 減去 -2x+8y=14。

$$-2x+2x+4y-8y=14-14$$

將 -2x 加到 2x。 -2x 和 2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$4y-8y=14-14$$

將 4y 加到 -8y。

$$-4y=14-14$$

將 14 加到 -14。

$$-4y=0$$

將兩邊同時除以 -4。

$$y=0$$

在 x-4y=-7 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-7$$

現已成功解出系統。

$$x=-7,y=0$$