解決{l}{-2x+3y=13}{6x-5y=-3} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 3 y = 13 } \\ { 6 x - 5 y = - 3 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x=7$$

$$y=9$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-2x+3y=13,6x-5y=-3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-2x+3y=13$$

從方程式兩邊減去 3y。

$$-2x=-3y+13$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=-\frac{1}{2}\left(-3y+13\right)$$

-\frac{1}{2} 乘上 -3y+13。

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{13}{2}$$

在另一個方程式 6x-5y=-3 中以 \frac{3y-13}{2} 代入 x在方程式。

$$6\left(\frac{3}{2}y-\frac{13}{2}\right)-5y=-3$$

6 乘上 \frac{3y-13}{2}。

$$9y-39-5y=-3$$

將 9y 加到 -5y。

$$4y-39=-3$$

將 39 加到方程式的兩邊。

$$4y=36$$

將兩邊同時除以 4。

$$y=9$$

在 x=\frac{3}{2}y-\frac{13}{2} 中以 9 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{3}{2}\times 9-\frac{13}{2}$$

\frac{3}{2} 乘上 9。

$$x=\frac{27-13}{2}$$

將 -\frac{13}{2} 與 \frac{27}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=7$$

現已成功解出系統。

$$x=7,y=9$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-2x+3y=13,6x-5y=-3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-2\left(-5\right)-3\times 6}&-\frac{3}{-2\left(-5\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{-2\left(-5\right)-3\times 6}&-\frac{2}{-2\left(-5\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}&\frac{3}{8}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}\times 13+\frac{3}{8}\left(-3\right)\\\frac{3}{4}\times 13+\frac{1}{4}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=7,y=9$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-2x+3y=13,6x-5y=-3$$

讓 -2x 和 6x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 6，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2。

$$6\left(-2\right)x+6\times 3y=6\times 13,-2\times 6x-2\left(-5\right)y=-2\left(-3\right)$$

化簡。

$$-12x+18y=78,-12x+10y=6$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -12x+18y=78 減去 -12x+10y=6。

$$-12x+12x+18y-10y=78-6$$

將 -12x 加到 12x。 -12x 和 12x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$18y-10y=78-6$$

將 18y 加到 -10y。

$$8y=78-6$$

將 78 加到 -6。

$$8y=72$$

將兩邊同時除以 8。

$$y=9$$

在 6x-5y=-3 中以 9 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$6x-5\times 9=-3$$

-5 乘上 9。

$$6x-45=-3$$

將 45 加到方程式的兩邊。

$$6x=42$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=7$$

現已成功解出系統。

$$x=7,y=9$$