解決{l}{-15A+3B=21}{-15B-3A=-14} |Microsoft數學求解器

解 A、B

測驗

Simultaneous Equation

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-15A+3B=21,-3A-15B=-14

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

-15A+3B=21

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 A: 將 A 單獨置於等號的左邊。

-15A=-3B+21

從方程式兩邊減去 3B。

A=-\frac{1}{15}\left(-3B+21\right)

將兩邊同時除以 -15。

A=\frac{1}{5}B-\frac{7}{5}

-\frac{1}{15} 乘上 -3B+21。

-3\left(\frac{1}{5}B-\frac{7}{5}\right)-15B=-14

在另一個方程式 -3A-15B=-14 中以 \frac{-7+B}{5} 代入 A在方程式。

-\frac{3}{5}B+\frac{21}{5}-15B=-14

-3 乘上 \frac{-7+B}{5}。

-\frac{78}{5}B+\frac{21}{5}=-14

將 -\frac{3B}{5} 加到 -15B。

-\frac{78}{5}B=-\frac{91}{5}

從方程式兩邊減去 \frac{21}{5}。

B=\frac{7}{6}

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{78}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

A=\frac{1}{5}\times \frac{7}{6}-\frac{7}{5}

在 A=\frac{1}{5}B-\frac{7}{5} 中以 \frac{7}{6} 代入 B。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 A。

A=\frac{7}{30}-\frac{7}{5}

\frac{1}{5} 乘上 \frac{7}{6} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

A=-\frac{7}{6}

將 -\frac{7}{5} 與 \frac{7}{30} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}

現已成功解出系統。

-15A+3B=21,-3A-15B=-14

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}&-\frac{15}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}&-\frac{1}{78}\\\frac{1}{78}&-\frac{5}{78}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}\times 21-\frac{1}{78}\left(-14\right)\\\frac{1}{78}\times 21-\frac{5}{78}\left(-14\right)\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}\\\frac{7}{6}\end{matrix}\right)

計算。

A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}

解出矩陣元素 A 和 B。

-15A+3B=21,-3A-15B=-14

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

-3\left(-15\right)A-3\times 3B=-3\times 21,-15\left(-3\right)A-15\left(-15\right)B=-15\left(-14\right)

讓 -15A 和 -3A 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -15。

45A-9B=-63,45A+225B=210

化簡。

45A-45A-9B-225B=-63-210