解決{l}{-14y+3x=8}{24quad8x-9y=7} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 14 y + 3 x = 8 } \\ { 24 \quad 8 x - 9 y = 7 } \end{array} \right.$$

解 y、x

$$x=\frac{26}{2661}\approx 0.009770763$$

$$y=-\frac{505}{887}\approx -0.569334837$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-14y+3x=8,-9y+192x=7$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$-14y+3x=8$$

從方程式兩邊減去 3x。

$$-14y=-3x+8$$

將兩邊同時除以 -14。

$$y=-\frac{1}{14}\left(-3x+8\right)$$

-\frac{1}{14} 乘上 -3x+8。

$$y=\frac{3}{14}x-\frac{4}{7}$$

在另一個方程式 -9y+192x=7 中以 \frac{3x}{14}-\frac{4}{7} 代入 y在方程式。

$$-9\left(\frac{3}{14}x-\frac{4}{7}\right)+192x=7$$

-9 乘上 \frac{3x}{14}-\frac{4}{7}。

$$-\frac{27}{14}x+\frac{36}{7}+192x=7$$

將 -\frac{27x}{14} 加到 192x。

$$\frac{2661}{14}x+\frac{36}{7}=7$$

從方程式兩邊減去 \frac{36}{7}。

$$\frac{2661}{14}x=\frac{13}{7}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{2661}{14}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$x=\frac{26}{2661}$$

在 y=\frac{3}{14}x-\frac{4}{7} 中以 \frac{26}{2661} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=\frac{3}{14}\times \frac{26}{2661}-\frac{4}{7}$$

\frac{3}{14} 乘上 \frac{26}{2661} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$y=\frac{13}{6209}-\frac{4}{7}$$

將 -\frac{4}{7} 與 \frac{13}{6209} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$y=-\frac{505}{887}$$

現已成功解出系統。

$$y=-\frac{505}{887},x=\frac{26}{2661}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-14y+3x=8,-9y+192x=7$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{192}{-14\times 192-3\left(-9\right)}&-\frac{3}{-14\times 192-3\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{-14\times 192-3\left(-9\right)}&-\frac{14}{-14\times 192-3\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{64}{887}&\frac{1}{887}\\-\frac{3}{887}&\frac{14}{2661}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{64}{887}\times 8+\frac{1}{887}\times 7\\-\frac{3}{887}\times 8+\frac{14}{2661}\times 7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{505}{887}\\\frac{26}{2661}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=-\frac{505}{887},x=\frac{26}{2661}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-14y+3x=8,-9y+192x=7$$

讓 -14y 和 -9y 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -9，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -14。

$$-9\left(-14\right)y-9\times 3x=-9\times 8,-14\left(-9\right)y-14\times 192x=-14\times 7$$

化簡。

$$126y-27x=-72,126y-2688x=-98$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 126y-27x=-72 減去 126y-2688x=-98。

$$126y-126y-27x+2688x=-72+98$$

將 126y 加到 -126y。 126y 和 -126y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-27x+2688x=-72+98$$

將 -27x 加到 2688x。

$$2661x=-72+98$$

將 -72 加到 98。

$$2661x=26$$

將兩邊同時除以 2661。

$$x=\frac{26}{2661}$$

在 -9y+192x=7 中以 \frac{26}{2661} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$-9y+192\times \frac{26}{2661}=7$$

192 乘上 \frac{26}{2661}。

$$-9y+\frac{1664}{887}=7$$

從方程式兩邊減去 \frac{1664}{887}。

$$-9y=\frac{4545}{887}$$

將兩邊同時除以 -9。

$$y=-\frac{505}{887}$$

現已成功解出系統。

$$y=-\frac{505}{887},x=\frac{26}{2661}$$