解決{l}{-10y+9x=-9}{10y+5x=-5} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 y + 9 x = - 9 } \\ { 10 y + 5 x = - 5 } \end{array} \right.$$

解 y、x

$$x=-1$$

$$y=0$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-10y+9x=-9,10y+5x=-5$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$-10y+9x=-9$$

從方程式兩邊減去 9x。

$$-10y=-9x-9$$

將兩邊同時除以 -10。

$$y=-\frac{1}{10}\left(-9x-9\right)$$

-\frac{1}{10} 乘上 -9x-9。

$$y=\frac{9}{10}x+\frac{9}{10}$$

在另一個方程式 10y+5x=-5 中以 \frac{9+9x}{10} 代入 y在方程式。

$$10\left(\frac{9}{10}x+\frac{9}{10}\right)+5x=-5$$

10 乘上 \frac{9+9x}{10}。

$$9x+9+5x=-5$$

將 9x 加到 5x。

$$14x+9=-5$$

從方程式兩邊減去 9。

$$14x=-14$$

將兩邊同時除以 14。

$$x=-1$$

在 y=\frac{9}{10}x+\frac{9}{10} 中以 -1 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=\frac{9}{10}\left(-1\right)+\frac{9}{10}$$

\frac{9}{10} 乘上 -1。

$$y=\frac{-9+9}{10}$$

將 \frac{9}{10} 與 -\frac{9}{10} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$y=0$$

現已成功解出系統。

$$y=0,x=-1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-10y+9x=-9,10y+5x=-5$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-10\times 5-9\times 10}&-\frac{9}{-10\times 5-9\times 10}\\-\frac{10}{-10\times 5-9\times 10}&-\frac{10}{-10\times 5-9\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{28}&\frac{9}{140}\\\frac{1}{14}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{28}\left(-9\right)+\frac{9}{140}\left(-5\right)\\\frac{1}{14}\left(-9\right)+\frac{1}{14}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=0,x=-1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-10y+9x=-9,10y+5x=-5$$

讓 -10y 和 10y 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 10，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -10。

$$10\left(-10\right)y+10\times 9x=10\left(-9\right),-10\times 10y-10\times 5x=-10\left(-5\right)$$

化簡。

$$-100y+90x=-90,-100y-50x=50$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -100y+90x=-90 減去 -100y-50x=50。

$$-100y+100y+90x+50x=-90-50$$

將 -100y 加到 100y。 -100y 和 100y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$90x+50x=-90-50$$

將 90x 加到 50x。

$$140x=-90-50$$

將 -90 加到 -50。

$$140x=-140$$

將兩邊同時除以 140。

$$x=-1$$

在 10y+5x=-5 中以 -1 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$10y+5\left(-1\right)=-5$$

5 乘上 -1。

$$10y-5=-5$$

將 5 加到方程式的兩邊。

$$10y=0$$

將兩邊同時除以 10。

$$y=0$$

現已成功解出系統。

$$y=0,x=-1$$