解決{l}{-10x-7y=-5}{7x+5y=4} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x - 7 y = - 5 } \\ { 7 x + 5 y = 4 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x=-3$$

$$y=5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-10x-7y=-5,7x+5y=4$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-10x-7y=-5$$

將 7y 加到方程式的兩邊。

$$-10x=7y-5$$

將兩邊同時除以 -10。

$$x=-\frac{1}{10}\left(7y-5\right)$$

-\frac{1}{10} 乘上 7y-5。

$$x=-\frac{7}{10}y+\frac{1}{2}$$

在另一個方程式 7x+5y=4 中以 -\frac{7y}{10}+\frac{1}{2} 代入 x在方程式。

$$7\left(-\frac{7}{10}y+\frac{1}{2}\right)+5y=4$$

7 乘上 -\frac{7y}{10}+\frac{1}{2}。

$$-\frac{49}{10}y+\frac{7}{2}+5y=4$$

將 -\frac{49y}{10} 加到 5y。

$$\frac{1}{10}y+\frac{7}{2}=4$$

從方程式兩邊減去 \frac{7}{2}。

$$\frac{1}{10}y=\frac{1}{2}$$

將兩邊同時乘上 10。

$$y=5$$

在 x=-\frac{7}{10}y+\frac{1}{2} 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{7}{10}\times 5+\frac{1}{2}$$

-\frac{7}{10} 乘上 5。

$$x=\frac{-7+1}{2}$$

將 \frac{1}{2} 與 -\frac{7}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-3$$

現已成功解出系統。

$$x=-3,y=5$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-10x-7y=-5,7x+5y=4$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-10\times 5-\left(-7\times 7\right)}&-\frac{-7}{-10\times 5-\left(-7\times 7\right)}\\-\frac{7}{-10\times 5-\left(-7\times 7\right)}&-\frac{10}{-10\times 5-\left(-7\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&-7\\7&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-5\right)-7\times 4\\7\left(-5\right)+10\times 4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-3,y=5$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-10x-7y=-5,7x+5y=4$$

讓 -10x 和 7x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 7，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -10。

$$7\left(-10\right)x+7\left(-7\right)y=7\left(-5\right),-10\times 7x-10\times 5y=-10\times 4$$

化簡。

$$-70x-49y=-35,-70x-50y=-40$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -70x-49y=-35 減去 -70x-50y=-40。

$$-70x+70x-49y+50y=-35+40$$

將 -70x 加到 70x。 -70x 和 70x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-49y+50y=-35+40$$

將 -49y 加到 50y。

$$y=-35+40$$

將 -35 加到 40。

$$y=5$$

在 7x+5y=4 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$7x+5\times 5=4$$

5 乘上 5。

$$7x+25=4$$

從方程式兩邊減去 25。

$$7x=-21$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=-3$$

現已成功解出系統。

$$x=-3,y=5$$