解決{l}{-10x+20y=460}{30x+60y=1620} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x + 20 y = 460 } \\ { 30 x + 60 y = 1620 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=4$$

$$y=25$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-10x+20y=460$$

從方程式兩邊減去 20y。

$$-10x=-20y+460$$

將兩邊同時除以 -10。

$$x=-\frac{1}{10}\left(-20y+460\right)$$

-\frac{1}{10} 乘上 -20y+460。

$$x=2y-46$$

在另一個方程式 30x+60y=1620 中以 -46+2y 代入 x在方程式。

$$30\left(2y-46\right)+60y=1620$$

30 乘上 -46+2y。

$$60y-1380+60y=1620$$

將 60y 加到 60y。

$$120y-1380=1620$$

將 1380 加到方程式的兩邊。

$$120y=3000$$

將兩邊同時除以 120。

$$y=25$$

在 x=2y-46 中以 25 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=2\times 25-46$$

2 乘上 25。

$$x=50-46$$

將 -46 加到 50。

$$x=4$$

現已成功解出系統。

$$x=4,y=25$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{60}{-10\times 60-20\times 30}&-\frac{20}{-10\times 60-20\times 30}\\-\frac{30}{-10\times 60-20\times 30}&-\frac{10}{-10\times 60-20\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}&\frac{1}{60}\\\frac{1}{40}&\frac{1}{120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}\times 460+\frac{1}{60}\times 1620\\\frac{1}{40}\times 460+\frac{1}{120}\times 1620\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\25\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=4,y=25$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

讓 -10x 和 30x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 30，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -10。

$$30\left(-10\right)x+30\times 20y=30\times 460,-10\times 30x-10\times 60y=-10\times 1620$$

化簡。

$$-300x+600y=13800,-300x-600y=-16200$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -300x+600y=13800 減去 -300x-600y=-16200。

$$-300x+300x+600y+600y=13800+16200$$

將 -300x 加到 300x。 -300x 和 300x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$600y+600y=13800+16200$$

將 600y 加到 600y。

$$1200y=13800+16200$$

將 13800 加到 16200。

$$1200y=30000$$

將兩邊同時除以 1200。

$$y=25$$

在 30x+60y=1620 中以 25 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$30x+60\times 25=1620$$

60 乘上 25。

$$30x+1500=1620$$

從方程式兩邊減去 1500。

$$30x=120$$

將兩邊同時除以 30。

$$x=4$$

現已成功解出系統。

$$x=4,y=25$$