解決{l}{-10x+2y=-8}{10x-y=9} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x + 2 y = - 8 } \\ { 10 x - y = 9 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=1$$

$$y=1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-10x+2y=-8,10x-y=9$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-10x+2y=-8$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$-10x=-2y-8$$

將兩邊同時除以 -10。

$$x=-\frac{1}{10}\left(-2y-8\right)$$

-\frac{1}{10} 乘上 -2y-8。

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{4}{5}$$

在另一個方程式 10x-y=9 中以 \frac{4+y}{5} 代入 x在方程式。

$$10\left(\frac{1}{5}y+\frac{4}{5}\right)-y=9$$

10 乘上 \frac{4+y}{5}。

$$2y+8-y=9$$

將 2y 加到 -y。

$$y+8=9$$

從方程式兩邊減去 8。

$$y=1$$

在 x=\frac{1}{5}y+\frac{4}{5} 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1+4}{5}$$

將 \frac{4}{5} 與 \frac{1}{5} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-10x+2y=-8,10x-y=9$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-10&2\\10&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\9\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-10&2\\10&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&2\\10&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&2\\10&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&2\\10&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\9\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&2\\10&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\9\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&2\\10&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\9\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-10\left(-1\right)-2\times 10}&-\frac{2}{-10\left(-1\right)-2\times 10}\\-\frac{10}{-10\left(-1\right)-2\times 10}&-\frac{10}{-10\left(-1\right)-2\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{5}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\9\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\left(-8\right)+\frac{1}{5}\times 9\\-8+9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=1,y=1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-10x+2y=-8,10x-y=9$$

讓 -10x 和 10x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 10，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -10。

$$10\left(-10\right)x+10\times 2y=10\left(-8\right),-10\times 10x-10\left(-1\right)y=-10\times 9$$

化簡。

$$-100x+20y=-80,-100x+10y=-90$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -100x+20y=-80 減去 -100x+10y=-90。

$$-100x+100x+20y-10y=-80+90$$

將 -100x 加到 100x。 -100x 和 100x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$20y-10y=-80+90$$

將 20y 加到 -10y。

$$10y=-80+90$$

將 -80 加到 90。

$$10y=10$$

將兩邊同時除以 10。

$$y=1$$

在 10x-y=9 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$10x-1=9$$

將 1 加到方程式的兩邊。

$$10x=10$$

將兩邊同時除以 10。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=1$$