解決{l}{(x-2)(y+5)=(x-1)(y+2)}{(y-3)(x+4)=(x+7)(y-4)} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { ( x - 2 ) ( y + 5 ) = ( x - 1 ) ( y + 2 ) } \\ { ( y - 3 ) ( x + 4 ) = ( x + 7 ) ( y - 4 ) } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=5$$

$$y=7$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 計算 x-2 乘上 y+5 時使用乘法分配律。

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

計算 x-1 乘上 y+2 時使用乘法分配律。

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

從兩邊減去 xy。

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

合併 xy 和 -xy 以取得 0。

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

從兩邊減去 2x。

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

合併 5x 和 -2x 以取得 3x。

$$3x-2y-10=-y-2$$

新增 y 至兩側。

$$3x-2y-10+y=-2$$

合併 -2y 和 y 以取得 -y。

$$3x-y-10=-2$$

新增 10 至兩側。

$$3x-y=-2+10$$

將 -2 與 10 相加可以得到 8。

$$3x-y=8$$

考慮第二個方程式。 計算 y-3 乘上 x+4 時使用乘法分配律。

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

計算 x+7 乘上 y-4 時使用乘法分配律。

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

從兩邊減去 xy。

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

合併 yx 和 -xy 以取得 0。

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

新增 4x 至兩側。

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

合併 -3x 和 4x 以取得 x。

$$4y+x-12=7y-28$$

從兩邊減去 7y。

$$4y+x-12-7y=-28$$

合併 4y 和 -7y 以取得 -3y。

$$-3y+x-12=-28$$

新增 12 至兩側。

$$-3y+x=-28+12$$

將 -28 與 12 相加可以得到 -16。

$$-3y+x=-16$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x-y=8$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$3x=y+8$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(y+8\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 y+8。

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}$$

在另一個方程式 x-3y=-16 中以 \frac{8+y}{3} 代入 x在方程式。

$$\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}-3y=-16$$

將 \frac{y}{3} 加到 -3y。

$$-\frac{8}{3}y+\frac{8}{3}=-16$$

從方程式兩邊減去 \frac{8}{3}。

$$-\frac{8}{3}y=-\frac{56}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{8}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=7$$

在 x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3} 中以 7 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{3}\times 7+\frac{8}{3}$$

\frac{1}{3} 乘上 7。

$$x=\frac{7+8}{3}$$

將 \frac{8}{3} 與 \frac{7}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=5$$

現已成功解出系統。

$$x=5,y=7$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 計算 x-2 乘上 y+5 時使用乘法分配律。

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

計算 x-1 乘上 y+2 時使用乘法分配律。

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

從兩邊減去 xy。

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

合併 xy 和 -xy 以取得 0。

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

從兩邊減去 2x。

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

合併 5x 和 -2x 以取得 3x。

$$3x-2y-10=-y-2$$

新增 y 至兩側。

$$3x-2y-10+y=-2$$

合併 -2y 和 y 以取得 -y。

$$3x-y-10=-2$$

新增 10 至兩側。

$$3x-y=-2+10$$

將 -2 與 10 相加可以得到 8。

$$3x-y=8$$

考慮第二個方程式。 計算 y-3 乘上 x+4 時使用乘法分配律。

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

計算 x+7 乘上 y-4 時使用乘法分配律。

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

從兩邊減去 xy。

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

合併 yx 和 -xy 以取得 0。

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

新增 4x 至兩側。

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

合併 -3x 和 4x 以取得 x。

$$4y+x-12=7y-28$$

從兩邊減去 7y。

$$4y+x-12-7y=-28$$

合併 4y 和 -7y 以取得 -3y。

$$-3y+x-12=-28$$

新增 12 至兩側。

$$-3y+x=-28+12$$

將 -28 與 12 相加可以得到 -16。

$$-3y+x=-16$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\\\frac{1}{8}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 8-\frac{1}{8}\left(-16\right)\\\frac{1}{8}\times 8-\frac{3}{8}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=5,y=7$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 計算 x-2 乘上 y+5 時使用乘法分配律。

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

計算 x-1 乘上 y+2 時使用乘法分配律。

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

從兩邊減去 xy。

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

合併 xy 和 -xy 以取得 0。

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

從兩邊減去 2x。

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

合併 5x 和 -2x 以取得 3x。

$$3x-2y-10=-y-2$$

新增 y 至兩側。

$$3x-2y-10+y=-2$$

合併 -2y 和 y 以取得 -y。

$$3x-y-10=-2$$

新增 10 至兩側。

$$3x-y=-2+10$$

將 -2 與 10 相加可以得到 8。

$$3x-y=8$$

考慮第二個方程式。 計算 y-3 乘上 x+4 時使用乘法分配律。

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

計算 x+7 乘上 y-4 時使用乘法分配律。

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

從兩邊減去 xy。

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

合併 yx 和 -xy 以取得 0。

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

新增 4x 至兩側。

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

合併 -3x 和 4x 以取得 x。

$$4y+x-12=7y-28$$

從兩邊減去 7y。

$$4y+x-12-7y=-28$$

合併 4y 和 -7y 以取得 -3y。

$$-3y+x-12=-28$$

新增 12 至兩側。

$$-3y+x=-28+12$$

將 -28 與 12 相加可以得到 -16。

$$-3y+x=-16$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

讓 3x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$3x-y=8,3x+3\left(-3\right)y=3\left(-16\right)$$

化簡。

$$3x-y=8,3x-9y=-48$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3x-y=8 減去 3x-9y=-48。

$$3x-3x-y+9y=8+48$$

將 3x 加到 -3x。 3x 和 -3x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-y+9y=8+48$$

將 -y 加到 9y。

$$8y=8+48$$

將 8 加到 48。

$$8y=56$$

將兩邊同時除以 8。

$$y=7$$

在 x-3y=-16 中以 7 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x-3\times 7=-16$$

-3 乘上 7。

$$x-21=-16$$

將 21 加到方程式的兩邊。

$$x=5$$

現已成功解出系統。

$$x=5,y=7$$