解決{l}{text{onmethod.}5x-2y=4}{x=y-2} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { \text { on method. } 5 x - 2 y = 4 } \\ { x = y - 2 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

$$y = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4.666666667$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 y。

$$x-y=-2$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x-2y=4,x-y=-2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x-2y=4$$

將 2y 加到方程式的兩邊。

$$5x=2y+4$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+4\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 4+2y。

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}$$

在另一個方程式 x-y=-2 中以 \frac{4+2y}{5} 代入 x在方程式。

$$\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}-y=-2$$

將 \frac{2y}{5} 加到 -y。

$$-\frac{3}{5}y+\frac{4}{5}=-2$$

從方程式兩邊減去 \frac{4}{5}。

$$-\frac{3}{5}y=-\frac{14}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{3}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{14}{3}$$

在 x=\frac{2}{5}y+\frac{4}{5} 中以 \frac{14}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{2}{5}\times \frac{14}{3}+\frac{4}{5}$$

\frac{2}{5} 乘上 \frac{14}{3} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{28}{15}+\frac{4}{5}$$

將 \frac{4}{5} 與 \frac{28}{15} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{8}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{8}{3},y=\frac{14}{3}$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 y。

$$x-y=-2$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x-2y=4,x-y=-2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 4-\frac{2}{3}\left(-2\right)\\\frac{1}{3}\times 4-\frac{5}{3}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{8}{3},y=\frac{14}{3}$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 y。

$$x-y=-2$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x-2y=4,x-y=-2$$

讓 5x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$5x-2y=4,5x+5\left(-1\right)y=5\left(-2\right)$$

化簡。

$$5x-2y=4,5x-5y=-10$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 5x-2y=4 減去 5x-5y=-10。

$$5x-5x-2y+5y=4+10$$

將 5x 加到 -5x。 5x 和 -5x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-2y+5y=4+10$$

將 -2y 加到 5y。

$$3y=4+10$$

將 4 加到 10。

$$3y=14$$

將兩邊同時除以 3。

$$y=\frac{14}{3}$$

在 x-y=-2 中以 \frac{14}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x-\frac{14}{3}=-2$$

將 \frac{14}{3} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{8}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{8}{3},y=\frac{14}{3}$$