解決{l}{text{if}2x/3-y/2+1/6=0text{and}x/2+frac{2y}{3}+3=0text{then:}}{{lll}{text{(A)}x=2,y=3}&{text{(B)}x=-2,y=3}&{text{(c)}x=2}} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { \text { if } \frac { 2 x } { 3 } - \frac { y } { 2 } + \frac { 1 } { 6 } = 0 \text { and } \frac { x } { 2 } + \frac { 2 y } { 3 } + 3 = 0 \text { then: } } \\ { \left. \begin{array} { l l l } { \text { (A) } x = 2 , y = 3 } & { \text { (B) } x = - 2 , y = 3 } & { \text { (c) } x = 2 } \end{array} \right. } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = -\frac{58}{25} = -2\frac{8}{25} = -2.32$$

$$y = -\frac{69}{25} = -2\frac{19}{25} = -2.76$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 3,2,6 的最小公倍數。

$$2\times 2x-3y+1=0$$

將 2 乘上 2 得到 4。

$$4x-3y+1=0$$

從兩邊減去 1。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$4x-3y=-1$$

考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 2,3 的最小公倍數。

$$3x+2\times 2y+18=0$$

將 2 乘上 2 得到 4。

$$3x+4y+18=0$$

從兩邊減去 18。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$3x+4y=-18$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x-3y=-1,3x+4y=-18$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x-3y=-1$$

將 3y 加到方程式的兩邊。

$$4x=3y-1$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(3y-1\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 3y-1。

$$x=\frac{3}{4}y-\frac{1}{4}$$

在另一個方程式 3x+4y=-18 中以 \frac{3y-1}{4} 代入 x在方程式。

$$3\left(\frac{3}{4}y-\frac{1}{4}\right)+4y=-18$$

3 乘上 \frac{3y-1}{4}。

$$\frac{9}{4}y-\frac{3}{4}+4y=-18$$

將 \frac{9y}{4} 加到 4y。

$$\frac{25}{4}y-\frac{3}{4}=-18$$

將 \frac{3}{4} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{25}{4}y=-\frac{69}{4}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{25}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{69}{25}$$

在 x=\frac{3}{4}y-\frac{1}{4} 中以 -\frac{69}{25} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{3}{4}\left(-\frac{69}{25}\right)-\frac{1}{4}$$

\frac{3}{4} 乘上 -\frac{69}{25} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{207}{100}-\frac{1}{4}$$

將 -\frac{1}{4} 與 -\frac{207}{100} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-\frac{58}{25}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{58}{25},y=-\frac{69}{25}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 3,2,6 的最小公倍數。

$$2\times 2x-3y+1=0$$

將 2 乘上 2 得到 4。

$$4x-3y+1=0$$

從兩邊減去 1。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$4x-3y=-1$$

考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 2,3 的最小公倍數。

$$3x+2\times 2y+18=0$$

將 2 乘上 2 得到 4。

$$3x+4y+18=0$$

從兩邊減去 18。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$3x+4y=-18$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x-3y=-1,3x+4y=-18$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-18\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-18\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-18\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-18\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}&\frac{4}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-18\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{3}{25}\\-\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-18\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\left(-1\right)+\frac{3}{25}\left(-18\right)\\-\frac{3}{25}\left(-1\right)+\frac{4}{25}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{58}{25}\\-\frac{69}{25}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{58}{25},y=-\frac{69}{25}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 3,2,6 的最小公倍數。

$$2\times 2x-3y+1=0$$

將 2 乘上 2 得到 4。

$$4x-3y+1=0$$

從兩邊減去 1。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$4x-3y=-1$$

考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 2,3 的最小公倍數。

$$3x+2\times 2y+18=0$$

將 2 乘上 2 得到 4。

$$3x+4y+18=0$$

從兩邊減去 18。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$3x+4y=-18$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x-3y=-1,3x+4y=-18$$

讓 4x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$3\times 4x+3\left(-3\right)y=3\left(-1\right),4\times 3x+4\times 4y=4\left(-18\right)$$

化簡。

$$12x-9y=-3,12x+16y=-72$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 12x-9y=-3 減去 12x+16y=-72。

$$12x-12x-9y-16y=-3+72$$

將 12x 加到 -12x。 12x 和 -12x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-9y-16y=-3+72$$

將 -9y 加到 -16y。

$$-25y=-3+72$$

將 -3 加到 72。

$$-25y=69$$

將兩邊同時除以 -25。

$$y=-\frac{69}{25}$$

在 3x+4y=-18 中以 -\frac{69}{25} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x+4\left(-\frac{69}{25}\right)=-18$$

4 乘上 -\frac{69}{25}。

$$3x-\frac{276}{25}=-18$$

將 \frac{276}{25} 加到方程式的兩邊。

$$3x=-\frac{174}{25}$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=-\frac{58}{25}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{58}{25},y=-\frac{69}{25}$$