解決{l}{y+2z/3=4}{5y/6+7z/3=8} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 2 z } { 3 } = 4 } \\ { \frac { 5 y } { 6 } + \frac { 7 z } { 3 } = 8 } \end{array} \right.$$

解 y、z

$$y=18$$

$$z=-3$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 將兩邊同時乘上 3。

$$y+2z=4\times 3$$

將 4 乘上 3 得到 12。

$$y+2z=12$$

考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 6,3 的最小公倍數。

$$5y+2\times 7z=48$$

將 2 乘上 7 得到 14。

$$5y+14z=48$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$y+2z=12$$

從方程式兩邊減去 2z。

$$y=-2z+12$$

在另一個方程式 5y+14z=48 中以 -2z+12 代入 y在方程式。

$$5\left(-2z+12\right)+14z=48$$

5 乘上 -2z+12。

$$-10z+60+14z=48$$

將 -10z 加到 14z。

$$4z+60=48$$

從方程式兩邊減去 60。

$$4z=-12$$

將兩邊同時除以 4。

$$z=-3$$

在 y=-2z+12 中以 -3 代入 z。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=-2\left(-3\right)+12$$

-2 乘上 -3。

$$y=6+12$$

將 12 加到 6。

$$y=18$$

現已成功解出系統。

$$y=18,z=-3$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 將兩邊同時乘上 3。

$$y+2z=4\times 3$$

將 4 乘上 3 得到 12。

$$y+2z=12$$

考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 6,3 的最小公倍數。

$$5y+2\times 7z=48$$

將 2 乘上 7 得到 14。

$$5y+14z=48$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{14-2\times 5}&-\frac{2}{14-2\times 5}\\-\frac{5}{14-2\times 5}&\frac{1}{14-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 12-\frac{1}{2}\times 48\\-\frac{5}{4}\times 12+\frac{1}{4}\times 48\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\-3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 z。

$$y=18,z=-3$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 將兩邊同時乘上 3。

$$y+2z=4\times 3$$

將 4 乘上 3 得到 12。

$$y+2z=12$$

考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 6,3 的最小公倍數。

$$5y+2\times 7z=48$$

將 2 乘上 7 得到 14。

$$5y+14z=48$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

讓 y 和 5y 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$5y+5\times 2z=5\times 12,5y+14z=48$$

化簡。

$$5y+10z=60,5y+14z=48$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 5y+10z=60 減去 5y+14z=48。

$$5y-5y+10z-14z=60-48$$

將 5y 加到 -5y。 5y 和 -5y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$10z-14z=60-48$$

將 10z 加到 -14z。

$$-4z=60-48$$

將 60 加到 -48。

$$-4z=12$$

將兩邊同時除以 -4。

$$z=-3$$

在 5y+14z=48 中以 -3 代入 z。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$5y+14\left(-3\right)=48$$

14 乘上 -3。

$$5y-42=48$$

將 42 加到方程式的兩邊。

$$5y=90$$

將兩邊同時除以 5。

$$y=18$$

現已成功解出系統。

$$y=18,z=-3$$