解決{l}{x/92+y=58}{x-y/79=57} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 92 } + y = 58 } \\ { x - \frac { y } { 79 } = 57 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{419612}{7269} = 57\frac{5279}{7269} \approx 57.726234695$$

$$y = \frac{417041}{7269} = 57\frac{2708}{7269} \approx 57.372540927$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 92。

$$x+92y=5336$$

考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 79。

$$79x-y=4503$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+92y=5336,79x-y=4503$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+92y=5336$$

從方程式兩邊減去 92y。

$$x=-92y+5336$$

在另一個方程式 79x-y=4503 中以 -92y+5336 代入 x在方程式。

$$79\left(-92y+5336\right)-y=4503$$

79 乘上 -92y+5336。

$$-7268y+421544-y=4503$$

將 -7268y 加到 -y。

$$-7269y+421544=4503$$

從方程式兩邊減去 421544。

$$-7269y=-417041$$

將兩邊同時除以 -7269。

$$y=\frac{417041}{7269}$$

在 x=-92y+5336 中以 \frac{417041}{7269} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-92\times \frac{417041}{7269}+5336$$

-92 乘上 \frac{417041}{7269}。

$$x=-\frac{38367772}{7269}+5336$$

將 5336 加到 -\frac{38367772}{7269}。

$$x=\frac{419612}{7269}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{419612}{7269},y=\frac{417041}{7269}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 92。

$$x+92y=5336$$

考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 79。

$$79x-y=4503$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+92y=5336,79x-y=4503$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-92\times 79}&-\frac{92}{-1-92\times 79}\\-\frac{79}{-1-92\times 79}&\frac{1}{-1-92\times 79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7269}&\frac{92}{7269}\\\frac{79}{7269}&-\frac{1}{7269}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7269}\times 5336+\frac{92}{7269}\times 4503\\\frac{79}{7269}\times 5336-\frac{1}{7269}\times 4503\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{419612}{7269}\\\frac{417041}{7269}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{419612}{7269},y=\frac{417041}{7269}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 92。

$$x+92y=5336$$

考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 79。

$$79x-y=4503$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+92y=5336,79x-y=4503$$

讓 x 和 79x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 79，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$79x+79\times 92y=79\times 5336,79x-y=4503$$

化簡。

$$79x+7268y=421544,79x-y=4503$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 79x+7268y=421544 減去 79x-y=4503。

$$79x-79x+7268y+y=421544-4503$$

將 79x 加到 -79x。 79x 和 -79x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$7268y+y=421544-4503$$

將 7268y 加到 y。

$$7269y=421544-4503$$

將 421544 加到 -4503。

$$7269y=417041$$

將兩邊同時除以 7269。

$$y=\frac{417041}{7269}$$

在 79x-y=4503 中以 \frac{417041}{7269} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$79x-\frac{417041}{7269}=4503$$

將 \frac{417041}{7269} 加到方程式的兩邊。

$$79x=\frac{33149348}{7269}$$

將兩邊同時除以 79。

$$x=\frac{419612}{7269}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{419612}{7269},y=\frac{417041}{7269}$$