解決{l}{x/47+y=86}{x+y/25=49} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 47 } + y = 86 } \\ { x + \frac { y } { 25 } = 49 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{53533}{1174} = 45\frac{703}{1174} \approx 45.598807496$$

$$y = \frac{99825}{1174} = 85\frac{35}{1174} \approx 85.029812606$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$\frac{1}{47}x+y=86,x+\frac{1}{25}y=49$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$\frac{1}{47}x+y=86$$

從方程式兩邊減去 y。

$$\frac{1}{47}x=-y+86$$

將兩邊同時乘上 47。

$$x=47\left(-y+86\right)$$

47 乘上 -y+86。

$$x=-47y+4042$$

在另一個方程式 x+\frac{1}{25}y=49 中以 -47y+4042 代入 x在方程式。

$$-47y+4042+\frac{1}{25}y=49$$

將 -47y 加到 \frac{y}{25}。

$$-\frac{1174}{25}y+4042=49$$

從方程式兩邊減去 4042。

$$-\frac{1174}{25}y=-3993$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{1174}{25}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{99825}{1174}$$

在 x=-47y+4042 中以 \frac{99825}{1174} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-47\times \frac{99825}{1174}+4042$$

-47 乘上 \frac{99825}{1174}。

$$x=-\frac{4691775}{1174}+4042$$

將 4042 加到 -\frac{4691775}{1174}。

$$x=\frac{53533}{1174}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{53533}{1174},y=\frac{99825}{1174}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$\frac{1}{47}x+y=86,x+\frac{1}{25}y=49$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{25}}{\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}-1}&-\frac{1}{\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}-1}\\-\frac{1}{\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}-1}&\frac{\frac{1}{47}}{\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{47}{1174}&\frac{1175}{1174}\\\frac{1175}{1174}&-\frac{25}{1174}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{47}{1174}\times 86+\frac{1175}{1174}\times 49\\\frac{1175}{1174}\times 86-\frac{25}{1174}\times 49\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{53533}{1174}\\\frac{99825}{1174}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{53533}{1174},y=\frac{99825}{1174}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$\frac{1}{47}x+y=86,x+\frac{1}{25}y=49$$

讓 \frac{x}{47} 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 \frac{1}{47}。

$$\frac{1}{47}x+y=86,\frac{1}{47}x+\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}y=\frac{1}{47}\times 49$$

化簡。

$$\frac{1}{47}x+y=86,\frac{1}{47}x+\frac{1}{1175}y=\frac{49}{47}$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 \frac{1}{47}x+y=86 減去 \frac{1}{47}x+\frac{1}{1175}y=\frac{49}{47}。

$$\frac{1}{47}x-\frac{1}{47}x+y-\frac{1}{1175}y=86-\frac{49}{47}$$

將 \frac{x}{47} 加到 -\frac{x}{47}。 \frac{x}{47} 和 -\frac{x}{47} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$y-\frac{1}{1175}y=86-\frac{49}{47}$$

將 y 加到 -\frac{y}{1175}。

$$\frac{1174}{1175}y=86-\frac{49}{47}$$

將 86 加到 -\frac{49}{47}。

$$\frac{1174}{1175}y=\frac{3993}{47}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{1174}{1175}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{99825}{1174}$$

在 x+\frac{1}{25}y=49 中以 \frac{99825}{1174} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x+\frac{1}{25}\times \frac{99825}{1174}=49$$

\frac{1}{25} 乘上 \frac{99825}{1174} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x+\frac{3993}{1174}=49$$

從方程式兩邊減去 \frac{3993}{1174}。

$$x=\frac{53533}{1174}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{53533}{1174},y=\frac{99825}{1174}$$