解決{l}{x/4-y/4=-1}{x+4y=-9} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 4 } - \frac { y } { 4 } = - 1 } \\ { x + 4 y = - 9 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x=-5$$

$$y=-1$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 4。

$$x-y=-4$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-y=-4,x+4y=-9$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-y=-4$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$x=y-4$$

在另一個方程式 x+4y=-9 中以 y-4 代入 x在方程式。

$$y-4+4y=-9$$

將 y 加到 4y。

$$5y-4=-9$$

將 4 加到方程式的兩邊。

$$5y=-5$$

將兩邊同時除以 5。

$$y=-1$$

在 x=y-4 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-1-4$$

將 -4 加到 -1。

$$x=-5$$

現已成功解出系統。

$$x=-5,y=-1$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 4。

$$x-y=-4$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-y=-4,x+4y=-9$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-9\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-1\\1&4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-9\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-9\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-9\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{4-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{4-\left(-1\right)}&\frac{1}{4-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-9\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\left(-4\right)+\frac{1}{5}\left(-9\right)\\-\frac{1}{5}\left(-4\right)+\frac{1}{5}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-5,y=-1$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 4。

$$x-y=-4$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-y=-4,x+4y=-9$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 x-y=-4 減去 x+4y=-9。

$$x-x-y-4y=-4+9$$

將 x 加到 -x。 x 和 -x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-y-4y=-4+9$$

將 -y 加到 -4y。

$$-5y=-4+9$$

將 -4 加到 9。

$$-5y=5$$

將兩邊同時除以 -5。

$$y=-1$$

在 x+4y=-9 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x+4\left(-1\right)=-9$$

4 乘上 -1。

$$x-4=-9$$

將 4 加到方程式的兩邊。

$$x=-5$$

現已成功解出系統。

$$x=-5,y=-1$$