解決{l}{x/36-y=21}{x-y/20=16} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 36 } - y = 21 } \\ { x - \frac { y } { 20 } = 16 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{10764}{719} = 14\frac{698}{719} \approx 14.970792768$$

$$y = -\frac{14800}{719} = -20\frac{420}{719} \approx -20.584144645$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 36。

$$x-36y=756$$

考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 20。

$$20x-y=320$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-36y=756,20x-y=320$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-36y=756$$

將 36y 加到方程式的兩邊。

$$x=36y+756$$

在另一個方程式 20x-y=320 中以 756+36y 代入 x在方程式。

$$20\left(36y+756\right)-y=320$$

20 乘上 756+36y。

$$720y+15120-y=320$$

將 720y 加到 -y。

$$719y+15120=320$$

從方程式兩邊減去 15120。

$$719y=-14800$$

將兩邊同時除以 719。

$$y=-\frac{14800}{719}$$

在 x=36y+756 中以 -\frac{14800}{719} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=36\left(-\frac{14800}{719}\right)+756$$

36 乘上 -\frac{14800}{719}。

$$x=-\frac{532800}{719}+756$$

將 756 加到 -\frac{532800}{719}。

$$x=\frac{10764}{719}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 36。

$$x-36y=756$$

考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 20。

$$20x-y=320$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-36y=756,20x-y=320$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-36\times 20\right)}&-\frac{-36}{-1-\left(-36\times 20\right)}\\-\frac{20}{-1-\left(-36\times 20\right)}&\frac{1}{-1-\left(-36\times 20\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{719}&\frac{36}{719}\\-\frac{20}{719}&\frac{1}{719}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{719}\times 756+\frac{36}{719}\times 320\\-\frac{20}{719}\times 756+\frac{1}{719}\times 320\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10764}{719}\\-\frac{14800}{719}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 36。

$$x-36y=756$$

考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 20。

$$20x-y=320$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-36y=756,20x-y=320$$

讓 x 和 20x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 20，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$20x+20\left(-36\right)y=20\times 756,20x-y=320$$

化簡。

$$20x-720y=15120,20x-y=320$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 20x-720y=15120 減去 20x-y=320。

$$20x-20x-720y+y=15120-320$$

將 20x 加到 -20x。 20x 和 -20x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-720y+y=15120-320$$

將 -720y 加到 y。

$$-719y=15120-320$$

將 15120 加到 -320。

$$-719y=14800$$

將兩邊同時除以 -719。

$$y=-\frac{14800}{719}$$

在 20x-y=320 中以 -\frac{14800}{719} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$20x-\left(-\frac{14800}{719}\right)=320$$

從方程式兩邊減去 \frac{14800}{719}。

$$20x=\frac{215280}{719}$$

將兩邊同時除以 20。

$$x=\frac{10764}{719}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$