解決{l}{x/33-y=26}{x-y/88=66} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 33 } - y = 26 } \\ { x - \frac { y } { 88 } = 66 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{190806}{2903} = 65\frac{2111}{2903} \approx 65.727178781$$

$$y = -\frac{69696}{2903} = -24\frac{24}{2903} \approx -24.00826731$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 33。

$$x-33y=858$$

考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 88。

$$88x-y=5808$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-33y=858,88x-y=5808$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-33y=858$$

將 33y 加到方程式的兩邊。

$$x=33y+858$$

在另一個方程式 88x-y=5808 中以 858+33y 代入 x在方程式。

$$88\left(33y+858\right)-y=5808$$

88 乘上 858+33y。

$$2904y+75504-y=5808$$

將 2904y 加到 -y。

$$2903y+75504=5808$$

從方程式兩邊減去 75504。

$$2903y=-69696$$

將兩邊同時除以 2903。

$$y=-\frac{69696}{2903}$$

在 x=33y+858 中以 -\frac{69696}{2903} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=33\left(-\frac{69696}{2903}\right)+858$$

33 乘上 -\frac{69696}{2903}。

$$x=-\frac{2299968}{2903}+858$$

將 858 加到 -\frac{2299968}{2903}。

$$x=\frac{190806}{2903}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{190806}{2903},y=-\frac{69696}{2903}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 33。

$$x-33y=858$$

考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 88。

$$88x-y=5808$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-33y=858,88x-y=5808$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-33\\88&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}858\\5808\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-33\\88&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-33\\88&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-33\\88&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-33\\88&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}858\\5808\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-33\\88&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}858\\5808\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-33\\88&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}858\\5808\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-33\times 88\right)}&-\frac{-33}{-1-\left(-33\times 88\right)}\\-\frac{88}{-1-\left(-33\times 88\right)}&\frac{1}{-1-\left(-33\times 88\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}858\\5808\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2903}&\frac{33}{2903}\\-\frac{88}{2903}&\frac{1}{2903}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}858\\5808\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2903}\times 858+\frac{33}{2903}\times 5808\\-\frac{88}{2903}\times 858+\frac{1}{2903}\times 5808\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{190806}{2903}\\-\frac{69696}{2903}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{190806}{2903},y=-\frac{69696}{2903}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 33。

$$x-33y=858$$

考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 88。

$$88x-y=5808$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-33y=858,88x-y=5808$$

讓 x 和 88x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 88，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$88x+88\left(-33\right)y=88\times 858,88x-y=5808$$

化簡。

$$88x-2904y=75504,88x-y=5808$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 88x-2904y=75504 減去 88x-y=5808。

$$88x-88x-2904y+y=75504-5808$$

將 88x 加到 -88x。 88x 和 -88x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-2904y+y=75504-5808$$

將 -2904y 加到 y。

$$-2903y=75504-5808$$

將 75504 加到 -5808。

$$-2903y=69696$$

將兩邊同時除以 -2903。

$$y=-\frac{69696}{2903}$$

在 88x-y=5808 中以 -\frac{69696}{2903} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$88x-\left(-\frac{69696}{2903}\right)=5808$$

從方程式兩邊減去 \frac{69696}{2903}。

$$88x=\frac{16790928}{2903}$$

將兩邊同時除以 88。

$$x=\frac{190806}{2903}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{190806}{2903},y=-\frac{69696}{2903}$$