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$\estwo{\fraction{x}{3} - \fraction{y}{2} = 8}{\fraction{x}{5} + \fraction{y}{3} = 1} $
解 x, y
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2x-3y=48
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6,這是 3,2 的最小公倍數。
3x+5y=15
考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 15,這是 5,3 的最小公倍數。
2x-3y=48,3x+5y=15
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
2x-3y=48
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
2x=3y+48
將 3y 加到方程式的兩邊。
x=\frac{1}{2}\left(3y+48\right)
將兩邊同時除以 2。
x=\frac{3}{2}y+24
\frac{1}{2} 乘上 48+3y。
3\left(\frac{3}{2}y+24\right)+5y=15
在另一個方程式 3x+5y=15 中以 \frac{3y}{2}+24 代入 x在方程式。
\frac{9}{2}y+72+5y=15
3 乘上 \frac{3y}{2}+24。
\frac{19}{2}y+72=15
將 \frac{9y}{2} 加到 5y。
\frac{19}{2}y=-57
從方程式兩邊減去 72。
y=-6
對方程式的兩邊同時除以 \frac{19}{2},與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=\frac{3}{2}\left(-6\right)+24
在 x=\frac{3}{2}y+24 中以 -6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 x。
x=-9+24
\frac{3}{2} 乘上 -6。
x=15
將 24 加到 -9。
x=15,y=-6
現已成功解出系統。
2x-3y=48
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6,這是 3,2 的最小公倍數。
3x+5y=15
考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 15,這是 5,3 的最小公倍數。
2x-3y=48,3x+5y=15
將方程式以標準式表示,然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right),逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right),所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 48+\frac{3}{19}\times 15\\-\frac{3}{19}\times 48+\frac{2}{19}\times 15\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-6\end{matrix}\right)
計算。
x=15,y=-6
解出矩陣元素 x 和 y。
2x-3y=48
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6,這是 3,2 的最小公倍數。
3x+5y=15
考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 15,這是 5,3 的最小公倍數。
2x-3y=48,3x+5y=15
為了使用消去法求解,兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同,這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 48,2\times 3x+2\times 5y=2\times 15
讓 2x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3,以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。
6x-9y=144,6x+10y=30
化簡。
6x-6x-9y-10y=144-30
透過在等號兩邊減去同類項的方式,從 6x-9y=144 減去 6x+10y=30。
-9y-10y=144-30
將 6x 加到 -6x。 6x 和 -6x 項相互消去,方程式就會只剩下一個變數,很容易就可以解出。
-19y=144-30
將 -9y 加到 -10y。
-19y=114
將 144 加到 -30。
y=-6
將兩邊同時除以 -19。
3x+5\left(-6\right)=15
在 3x+5y=15 中以 -6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 x。
3x-30=15
5 乘上 -6。
3x=45
將 30 加到方程式的兩邊。
x=15
將兩邊同時除以 3。
x=15,y=-6
現已成功解出系統。