解 x、y
x=12
y=15
圖表
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5x+3y=105
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 15，這是 3,5 的最小公倍數。
5x-6\times 2y=-120
考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 30，這是 6,5 的最小公倍數。
5x-12y=-120
將 -6 乘上 2 得到 -12。
5x+3y=105,5x-12y=-120
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
5x+3y=105
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
5x=-3y+105
從方程式兩邊減去 3y。
x=\frac{1}{5}\left(-3y+105\right)
將兩邊同時除以 5。
x=-\frac{3}{5}y+21
\frac{1}{5} 乘上 -3y+105。
5\left(-\frac{3}{5}y+21\right)-12y=-120
在另一個方程式 5x-12y=-120 中以 -\frac{3y}{5}+21 代入 x在方程式。
-3y+105-12y=-120
5 乘上 -\frac{3y}{5}+21。
-15y+105=-120
將 -3y 加到 -12y。
-15y=-225
從方程式兩邊減去 105。
y=15
將兩邊同時除以 -15。
x=-\frac{3}{5}\times 15+21
在 x=-\frac{3}{5}y+21 中以 15 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=-9+21
-\frac{3}{5} 乘上 15。
x=12
將 21 加到 -9。
x=12,y=15
現已成功解出系統。
5x+3y=105
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 15，這是 3,5 的最小公倍數。
5x-6\times 2y=-120
考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 30，這是 6,5 的最小公倍數。
5x-12y=-120
將 -6 乘上 2 得到 -12。
5x+3y=105,5x-12y=-120
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{5\left(-12\right)-3\times 5}&-\frac{3}{5\left(-12\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{5\left(-12\right)-3\times 5}&\frac{5}{5\left(-12\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{1}{25}\\\frac{1}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 105+\frac{1}{25}\left(-120\right)\\\frac{1}{15}\times 105-\frac{1}{15}\left(-120\right)\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\15\end{matrix}\right)
計算。
x=12,y=15
解出矩陣元素 x 和 y。
5x+3y=105
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 15，這是 3,5 的最小公倍數。
5x-6\times 2y=-120
考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 30，這是 6,5 的最小公倍數。
5x-12y=-120
將 -6 乘上 2 得到 -12。
5x+3y=105,5x-12y=-120
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
5x-5x+3y+12y=105+120
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 5x+3y=105 減去 5x-12y=-120。
3y+12y=105+120
將 5x 加到 -5x。 5x 和 -5x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
15y=105+120
將 3y 加到 12y。
15y=225
將 105 加到 120。
y=15
將兩邊同時除以 15。
5x-12\times 15=-120
在 5x-12y=-120 中以 15 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
5x-180=-120
-12 乘上 15。
5x=60
將 180 加到方程式的兩邊。
x=12
將兩邊同時除以 5。
x=12,y=15
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}