解 x、y
x=0
y=30
圖表
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\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,x+y=30
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
\frac{1}{2}x=-\frac{1}{3}y+10
從方程式兩邊減去 \frac{y}{3}。
x=2\left(-\frac{1}{3}y+10\right)
將兩邊同時乘上 2。
x=-\frac{2}{3}y+20
2 乘上 -\frac{y}{3}+10。
-\frac{2}{3}y+20+y=30
在另一個方程式 x+y=30 中以 -\frac{2y}{3}+20 代入 x在方程式。
\frac{1}{3}y+20=30
將 -\frac{2y}{3} 加到 y。
\frac{1}{3}y=10
從方程式兩邊減去 20。
y=30
將兩邊同時乘上 3。
x=-\frac{2}{3}\times 30+20
在 x=-\frac{2}{3}y+20 中以 30 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=-20+20
-\frac{2}{3} 乘上 30。
x=0
將 20 加到 -20。
x=0,y=30
現已成功解出系統。
\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,x+y=30
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6&-2\\-6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\times 10-2\times 30\\-6\times 10+3\times 30\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\30\end{matrix}\right)
計算。
x=0,y=30
解出矩陣元素 x 和 y。
\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,x+y=30
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=\frac{1}{2}\times 30
讓 \frac{x}{2} 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 \frac{1}{2}。
\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=15
化簡。
\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y-\frac{1}{2}y=10-15
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10 減去 \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=15。
\frac{1}{3}y-\frac{1}{2}y=10-15
將 \frac{x}{2} 加到 -\frac{x}{2}。 \frac{x}{2} 和 -\frac{x}{2} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
-\frac{1}{6}y=10-15
將 \frac{y}{3} 加到 -\frac{y}{2}。
-\frac{1}{6}y=-5
將 10 加到 -15。
y=30
將兩邊同時乘上 -6。
x+30=30
在 x+y=30 中以 30 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=0
從方程式兩邊減去 30。
x=0,y=30
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}