解決{l}{x^2/9+y^2/4=1}{3x+4y=1} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 9 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1 } \\ { 3 x + 4 y = 1 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{63}{29}\approx 2.172413793\text{, }y=-\frac{40}{29}\approx -1.379310345$$

$$x=-\frac{9}{5}=-1.8\text{, }y=\frac{8}{5}=1.6$$

使用代換和二次方程式公式的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 36，這是 9,4 的最小公倍數。

$$4x^{2}+9y^{2}=36$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x+4y=1,9y^{2}+4x^{2}=36$$

對 3x+4y=1 解出 x，方法為將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x+4y=1$$

從方程式兩邊減去 4y。

$$3x=-4y+1$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}$$

在另一個方程式 9y^{2}+4x^{2}=36 中以 -\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} 代入 x在方程式。

$$9y^{2}+4\left(-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}\right)^{2}=36$$

對 -\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} 平方。

$$9y^{2}+4\left(\frac{16}{9}y^{2}-\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}\right)=36$$

4 乘上 \frac{16}{9}y^{2}-\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}。

$$9y^{2}+\frac{64}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y+\frac{4}{9}=36$$

將 9y^{2} 加到 \frac{64}{9}y^{2}。

$$\frac{145}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y+\frac{4}{9}=36$$

從方程式兩邊減去 36。

$$\frac{145}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y-\frac{320}{9}=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2} 代入 a，將 4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2 代入 b，以及將 -\frac{320}{9} 代入 c。

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\left(-\frac{32}{9}\right)^{2}-4\times \frac{145}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

對 4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2 平方。

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024}{81}-4\times \frac{145}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

-4 乘上 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}。

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024}{81}-\frac{580}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

-\frac{580}{9} 乘上 -\frac{320}{9} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024+185600}{81}}}{2\times \frac{145}{9}}$$

將 \frac{1024}{81} 與 \frac{185600}{81} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{2304}}{2\times \frac{145}{9}}$$

取 2304 的平方根。

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±48}{2\times \frac{145}{9}}$$

4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2 的相反數是 \frac{32}{9}。

$$y=\frac{\frac{32}{9}±48}{2\times \frac{145}{9}}$$

2 乘上 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}。

$$y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}}。 將 \frac{32}{9} 加到 48。

$$y=\frac{\frac{464}{9}}{\frac{290}{9}}$$

\frac{464}{9} 除以 \frac{290}{9} 的算法是將 \frac{464}{9} 乘以 \frac{290}{9} 的倒數。

$$y=\frac{8}{5}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}}。 從 \frac{32}{9} 減去 48。

$$y=-\frac{\frac{400}{9}}{\frac{290}{9}}$$

-\frac{400}{9} 除以 \frac{290}{9} 的算法是將 -\frac{400}{9} 乘以 \frac{290}{9} 的倒數。

$$y=-\frac{40}{29}$$

y 有兩種答案: \frac{8}{5} 和 -\frac{40}{29}。在方程式 x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} 中以 \frac{8}{5} 代入 y 以解出滿足這兩個方程式的 x 結果。

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{8}{5}+\frac{1}{3}$$

-\frac{4}{3} 乘上 \frac{8}{5} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{32}{15}+\frac{1}{3}$$

將 -\frac{4}{3}\times \frac{8}{5} 加到 \frac{1}{3}。

$$x=-\frac{9}{5}$$

現在在方程式 x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} 中以 -\frac{40}{29} 代入 y 取得結果，然後找出滿足這兩個方程式的 x 解。

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{40}{29}\right)+\frac{1}{3}$$

-\frac{4}{3} 乘上 -\frac{40}{29} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{160}{87}+\frac{1}{3}$$

將 -\frac{40}{29}\left(-\frac{4}{3}\right) 加到 \frac{1}{3}。

$$x=\frac{63}{29}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{9}{5},y=\frac{8}{5}\text{ or }x=\frac{63}{29},y=-\frac{40}{29}$$