解決{l}{x^2/4+y^2=1}{y=frac{sqrt{2}}{4}x} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + y ^ { 2 } = 1 } \\ { y = \frac { \sqrt { 2 } } { 4 } x } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x=-\frac{2\sqrt{6}}{3}\approx -1.632993162\text{, }y=-\frac{\sqrt{3}}{3}\approx -0.577350269$$

$$x=\frac{2\sqrt{6}}{3}\approx 1.632993162\text{, }y=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 0.577350269$$

使用代換和二次方程式公式的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 4。

$$x^{2}+4y^{2}=4$$

考慮第二個方程式。 運算式 \frac{\sqrt{2}}{4}x 為最簡分數。

$$y=\frac{\sqrt{2}x}{4}$$

從兩邊減去 \frac{\sqrt{2}x}{4}。

$$y-\frac{\sqrt{2}x}{4}=0$$

對方程式兩邊同時乘上 4。

$$4y-\sqrt{2}x=0$$

重新排列各項。

$$-\sqrt{2}x+4y=0$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$\left(-\sqrt{2}\right)x+4y=0,4y^{2}+x^{2}=4$$

對 \left(-\sqrt{2}\right)x+4y=0 解出 x，方法為將 x 單獨置於等號的左邊。

$$\left(-\sqrt{2}\right)x+4y=0$$

從方程式兩邊減去 4y。

$$\left(-\sqrt{2}\right)x=-4y$$

將兩邊同時除以 -\sqrt{2}。

$$x=2\sqrt{2}y$$

在另一個方程式 4y^{2}+x^{2}=4 中以 2\sqrt{2}y 代入 x在方程式。

$$4y^{2}+\left(2\sqrt{2}y\right)^{2}=4$$

對 2\sqrt{2}y 平方。

$$4y^{2}+\left(2\sqrt{2}\right)^{2}y^{2}=4$$

將 4y^{2} 加到 \left(2\sqrt{2}\right)^{2}y^{2}。

$$\left(\left(2\sqrt{2}\right)^{2}+4\right)y^{2}=4$$

從方程式兩邊減去 4。

$$\left(\left(2\sqrt{2}\right)^{2}+4\right)y^{2}-4=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 4+1\times \left(2\sqrt{2}\right)^{2} 代入 a，將 1\times 0\times 2\times 2\sqrt{2} 代入 b，以及將 -4 代入 c。

$$y=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\left(\left(2\sqrt{2}\right)^{2}+4\right)\left(-4\right)}}{2\left(\left(2\sqrt{2}\right)^{2}+4\right)}$$

對 1\times 0\times 2\times 2\sqrt{2} 平方。

$$y=\frac{0±\sqrt{-4\left(\left(2\sqrt{2}\right)^{2}+4\right)\left(-4\right)}}{2\left(\left(2\sqrt{2}\right)^{2}+4\right)}$$

-4 乘上 4+1\times \left(2\sqrt{2}\right)^{2}。

$$y=\frac{0±\sqrt{-48\left(-4\right)}}{2\left(\left(2\sqrt{2}\right)^{2}+4\right)}$$

-48 乘上 -4。

$$y=\frac{0±\sqrt{192}}{2\left(\left(2\sqrt{2}\right)^{2}+4\right)}$$

取 192 的平方根。

$$y=\frac{0±8\sqrt{3}}{2\left(\left(2\sqrt{2}\right)^{2}+4\right)}$$

2 乘上 4+1\times \left(2\sqrt{2}\right)^{2}。

$$y=\frac{0±8\sqrt{3}}{24}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 y=\frac{0±8\sqrt{3}}{24}。

$$y=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 y=\frac{0±8\sqrt{3}}{24}。

$$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$

y 有兩種答案: \frac{\sqrt{3}}{3} 和 -\frac{\sqrt{3}}{3}。在方程式 x=2\sqrt{2}y 中以 \frac{\sqrt{3}}{3} 代入 y 以解出滿足這兩個方程式的 x 結果。

$$x=2\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{3}}{3}$$

現在在方程式 x=2\sqrt{2}y 中以 -\frac{\sqrt{3}}{3} 代入 y 取得結果，然後找出滿足這兩個方程式的 x 解。

$$x=2\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$$

現已成功解出系統。

$$x=2\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{3}}{3},y=\frac{\sqrt{3}}{3}\text{ or }x=2\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right),y=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$