解決{l}{x+2/2+y-5/5=x/4+1}{x+y=x-1/3+3} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 2 } { 2 } + \frac { y - 5 } { 5 } = \frac { x } { 4 } + 1 } \\ { x + y = \frac { x - 1 } { 3 } + 3 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=4$$

$$y=0$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 20，這是 2,5,4 的最小公倍數。

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

計算 10 乘上 x+2 時使用乘法分配律。

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

計算 4 乘上 y-5 時使用乘法分配律。

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

從 20 減去 20 會得到 0。

$$10x+4y=5x+20$$

從兩邊減去 5x。

$$10x+4y-5x=20$$

合併 10x 和 -5x 以取得 5x。

$$5x+4y=20$$

考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 3。

$$3x+3y=x-1+9$$

將 -1 與 9 相加可以得到 8。

$$3x+3y=x+8$$

從兩邊減去 x。

$$3x+3y-x=8$$

合併 3x 和 -x 以取得 2x。

$$2x+3y=8$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x+4y=20$$

從方程式兩邊減去 4y。

$$5x=-4y+20$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y+20\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 -4y+20。

$$x=-\frac{4}{5}y+4$$

在另一個方程式 2x+3y=8 中以 -\frac{4y}{5}+4 代入 x在方程式。

$$2\left(-\frac{4}{5}y+4\right)+3y=8$$

2 乘上 -\frac{4y}{5}+4。

$$-\frac{8}{5}y+8+3y=8$$

將 -\frac{8y}{5} 加到 3y。

$$\frac{7}{5}y+8=8$$

從方程式兩邊減去 8。

$$\frac{7}{5}y=0$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{7}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=0$$

在 x=-\frac{4}{5}y+4 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=4$$

現已成功解出系統。

$$x=4,y=0$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 20，這是 2,5,4 的最小公倍數。

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

計算 10 乘上 x+2 時使用乘法分配律。

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

計算 4 乘上 y-5 時使用乘法分配律。

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

從 20 減去 20 會得到 0。

$$10x+4y=5x+20$$

從兩邊減去 5x。

$$10x+4y-5x=20$$

合併 10x 和 -5x 以取得 5x。

$$5x+4y=20$$

考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 3。

$$3x+3y=x-1+9$$

將 -1 與 9 相加可以得到 8。

$$3x+3y=x+8$$

從兩邊減去 x。

$$3x+3y-x=8$$

合併 3x 和 -x 以取得 2x。

$$2x+3y=8$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 2}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 2}\\-\frac{2}{5\times 3-4\times 2}&\frac{5}{5\times 3-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{4}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 20-\frac{4}{7}\times 8\\-\frac{2}{7}\times 20+\frac{5}{7}\times 8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=4,y=0$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 20，這是 2,5,4 的最小公倍數。

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

計算 10 乘上 x+2 時使用乘法分配律。

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

計算 4 乘上 y-5 時使用乘法分配律。

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

從 20 減去 20 會得到 0。

$$10x+4y=5x+20$$

從兩邊減去 5x。

$$10x+4y-5x=20$$

合併 10x 和 -5x 以取得 5x。

$$5x+4y=20$$

考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 3。

$$3x+3y=x-1+9$$

將 -1 與 9 相加可以得到 8。

$$3x+3y=x+8$$

從兩邊減去 x。

$$3x+3y-x=8$$

合併 3x 和 -x 以取得 2x。

$$2x+3y=8$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

讓 5x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$2\times 5x+2\times 4y=2\times 20,5\times 2x+5\times 3y=5\times 8$$

化簡。

$$10x+8y=40,10x+15y=40$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 10x+8y=40 減去 10x+15y=40。

$$10x-10x+8y-15y=40-40$$

將 10x 加到 -10x。 10x 和 -10x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$8y-15y=40-40$$

將 8y 加到 -15y。

$$-7y=40-40$$

將 40 加到 -40。

$$-7y=0$$

將兩邊同時除以 -7。

$$y=0$$

在 2x+3y=8 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x=8$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=4$$

現已成功解出系統。

$$x=4,y=0$$