解決{l}{x+1y-1/2+y-1/3=9}{x-1/3+y+1/2=8} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 1 y - 1 } { 2 } + \frac { y - 1 } { 3 } = 9 } \\ { \frac { x - 1 } { 3 } + \frac { y + 1 } { 2 } = 8 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=58$$

$$y=-23$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 2,3 的最小公倍數。

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

計算 3 乘上 x+1y-1 時使用乘法分配律。

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

計算 2 乘上 y-1 時使用乘法分配律。

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

合併 3y 和 2y 以取得 5y。

$$3x+5y-3-2=54$$

從 -3 減去 2 會得到 -5。

$$3x+5y-5=54$$

新增 5 至兩側。

$$3x+5y=54+5$$

將 54 與 5 相加可以得到 59。

$$3x+5y=59$$

考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 3,2 的最小公倍數。

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

計算 2 乘上 x-1 時使用乘法分配律。

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

計算 3 乘上 y+1 時使用乘法分配律。

$$2x-2+3y+3=48$$

將 -2 與 3 相加可以得到 1。

$$2x+1+3y=48$$

從兩邊減去 1。

$$2x+3y=48-1$$

從 48 減去 1 會得到 47。

$$2x+3y=47$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x+5y=59$$

從方程式兩邊減去 5y。

$$3x=-5y+59$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+59\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -5y+59。

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3}$$

在另一個方程式 2x+3y=47 中以 \frac{-5y+59}{3} 代入 x在方程式。

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3}\right)+3y=47$$

2 乘上 \frac{-5y+59}{3}。

$$-\frac{10}{3}y+\frac{118}{3}+3y=47$$

將 -\frac{10y}{3} 加到 3y。

$$-\frac{1}{3}y+\frac{118}{3}=47$$

從方程式兩邊減去 \frac{118}{3}。

$$-\frac{1}{3}y=\frac{23}{3}$$

將兩邊同時乘上 -3。

$$y=-23$$

在 x=-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3} 中以 -23 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{5}{3}\left(-23\right)+\frac{59}{3}$$

-\frac{5}{3} 乘上 -23。

$$x=\frac{115+59}{3}$$

將 \frac{59}{3} 與 \frac{115}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=58$$

現已成功解出系統。

$$x=58,y=-23$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 2,3 的最小公倍數。

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

計算 3 乘上 x+1y-1 時使用乘法分配律。

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

計算 2 乘上 y-1 時使用乘法分配律。

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

合併 3y 和 2y 以取得 5y。

$$3x+5y-3-2=54$$

從 -3 減去 2 會得到 -5。

$$3x+5y-5=54$$

新增 5 至兩側。

$$3x+5y=54+5$$

將 54 與 5 相加可以得到 59。

$$3x+5y=59$$

考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 3,2 的最小公倍數。

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

計算 2 乘上 x-1 時使用乘法分配律。

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

計算 3 乘上 y+1 時使用乘法分配律。

$$2x-2+3y+3=48$$

將 -2 與 3 相加可以得到 1。

$$2x+1+3y=48$$

從兩邊減去 1。

$$2x+3y=48-1$$

從 48 減去 1 會得到 47。

$$2x+3y=47$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 2}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-5\times 2}&\frac{3}{3\times 3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 59+5\times 47\\2\times 59-3\times 47\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}58\\-23\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=58,y=-23$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 2,3 的最小公倍數。

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

計算 3 乘上 x+1y-1 時使用乘法分配律。

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

計算 2 乘上 y-1 時使用乘法分配律。

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

合併 3y 和 2y 以取得 5y。

$$3x+5y-3-2=54$$

從 -3 減去 2 會得到 -5。

$$3x+5y-5=54$$

新增 5 至兩側。

$$3x+5y=54+5$$

將 54 與 5 相加可以得到 59。

$$3x+5y=59$$

考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 3,2 的最小公倍數。

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

計算 2 乘上 x-1 時使用乘法分配律。

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

計算 3 乘上 y+1 時使用乘法分配律。

$$2x-2+3y+3=48$$

將 -2 與 3 相加可以得到 1。

$$2x+1+3y=48$$

從兩邊減去 1。

$$2x+3y=48-1$$

從 48 減去 1 會得到 47。

$$2x+3y=47$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

讓 3x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$2\times 3x+2\times 5y=2\times 59,3\times 2x+3\times 3y=3\times 47$$

化簡。

$$6x+10y=118,6x+9y=141$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 6x+10y=118 減去 6x+9y=141。

$$6x-6x+10y-9y=118-141$$

將 6x 加到 -6x。 6x 和 -6x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$10y-9y=118-141$$

將 10y 加到 -9y。

$$y=118-141$$

將 118 加到 -141。

$$y=-23$$

在 2x+3y=47 中以 -23 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x+3\left(-23\right)=47$$

3 乘上 -23。

$$2x-69=47$$

將 69 加到方程式的兩邊。

$$2x=116$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=58$$

現已成功解出系統。

$$x=58,y=-23$$