解 x、y
x=9
y=21
圖表
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\frac{2}{3}x+\frac{1}{7}y=9,\frac{1}{3}x-\frac{5}{7}y=-12
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
\frac{2}{3}x+\frac{1}{7}y=9
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
\frac{2}{3}x=-\frac{1}{7}y+9
從方程式兩邊減去 \frac{y}{7}。
x=\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{7}y+9\right)
對方程式的兩邊同時除以 \frac{2}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=-\frac{3}{14}y+\frac{27}{2}
\frac{3}{2} 乘上 -\frac{y}{7}+9。
\frac{1}{3}\left(-\frac{3}{14}y+\frac{27}{2}\right)-\frac{5}{7}y=-12
在另一個方程式 \frac{1}{3}x-\frac{5}{7}y=-12 中以 -\frac{3y}{14}+\frac{27}{2} 代入 x在方程式。
-\frac{1}{14}y+\frac{9}{2}-\frac{5}{7}y=-12
\frac{1}{3} 乘上 -\frac{3y}{14}+\frac{27}{2}。
-\frac{11}{14}y+\frac{9}{2}=-12
將 -\frac{y}{14} 加到 -\frac{5y}{7}。
-\frac{11}{14}y=-\frac{33}{2}
從方程式兩邊減去 \frac{9}{2}。
y=21
對方程式的兩邊同時除以 -\frac{11}{14}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=-\frac{3}{14}\times 21+\frac{27}{2}
在 x=-\frac{3}{14}y+\frac{27}{2} 中以 21 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=\frac{-9+27}{2}
-\frac{3}{14} 乘上 21。
x=9
將 \frac{27}{2} 與 -\frac{9}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=9,y=21
現已成功解出系統。
\frac{2}{3}x+\frac{1}{7}y=9,\frac{1}{3}x-\frac{5}{7}y=-12
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{5}{7}}{\frac{2}{3}\left(-\frac{5}{7}\right)-\frac{1}{7}\times \frac{1}{3}}&-\frac{\frac{1}{7}}{\frac{2}{3}\left(-\frac{5}{7}\right)-\frac{1}{7}\times \frac{1}{3}}\\-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}\left(-\frac{5}{7}\right)-\frac{1}{7}\times \frac{1}{3}}&\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}\left(-\frac{5}{7}\right)-\frac{1}{7}\times \frac{1}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{7}{11}&-\frac{14}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{11}\times 9+\frac{3}{11}\left(-12\right)\\\frac{7}{11}\times 9-\frac{14}{11}\left(-12\right)\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)
計算。
x=9,y=21
解出矩陣元素 x 和 y。
\frac{2}{3}x+\frac{1}{7}y=9,\frac{1}{3}x-\frac{5}{7}y=-12
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\times \frac{1}{7}y=\frac{1}{3}\times 9,\frac{2}{3}\times \frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\left(-\frac{5}{7}\right)y=\frac{2}{3}\left(-12\right)
讓 \frac{2x}{3} 和 \frac{x}{3} 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 \frac{1}{3}，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 \frac{2}{3}。
\frac{2}{9}x+\frac{1}{21}y=3,\frac{2}{9}x-\frac{10}{21}y=-8
化簡。
\frac{2}{9}x-\frac{2}{9}x+\frac{1}{21}y+\frac{10}{21}y=3+8
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 \frac{2}{9}x+\frac{1}{21}y=3 減去 \frac{2}{9}x-\frac{10}{21}y=-8。
\frac{1}{21}y+\frac{10}{21}y=3+8
將 \frac{2x}{9} 加到 -\frac{2x}{9}。 \frac{2x}{9} 和 -\frac{2x}{9} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
\frac{11}{21}y=3+8
將 \frac{y}{21} 加到 \frac{10y}{21}。
\frac{11}{21}y=11
將 3 加到 8。
y=21
對方程式的兩邊同時除以 \frac{11}{21}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
\frac{1}{3}x-\frac{5}{7}\times 21=-12
在 \frac{1}{3}x-\frac{5}{7}y=-12 中以 21 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
\frac{1}{3}x-15=-12
-\frac{5}{7} 乘上 21。
\frac{1}{3}x=3
將 15 加到方程式的兩邊。
x=9
將兩邊同時乘上 3。
x=9,y=21
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}