解決{l}{2/3A+B=400}{A+4/5B=460} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 } { 3 } A + B = 400 } \\ { A + \frac { 4 } { 5 } B = 460 } \end{array} \right.$$

解 A、B

$$A=300$$

$$B=200$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$\frac{2}{3}A+B=400,A+\frac{4}{5}B=460$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 A: 將 A 單獨置於等號的左邊。

$$\frac{2}{3}A+B=400$$

從方程式兩邊減去 B。

$$\frac{2}{3}A=-B+400$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{2}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$A=\frac{3}{2}\left(-B+400\right)$$

\frac{3}{2} 乘上 -B+400。

$$A=-\frac{3}{2}B+600$$

在另一個方程式 A+\frac{4}{5}B=460 中以 -\frac{3B}{2}+600 代入 A在方程式。

$$-\frac{3}{2}B+600+\frac{4}{5}B=460$$

將 -\frac{3B}{2} 加到 \frac{4B}{5}。

$$-\frac{7}{10}B+600=460$$

從方程式兩邊減去 600。

$$-\frac{7}{10}B=-140$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{7}{10}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$B=200$$

在 A=-\frac{3}{2}B+600 中以 200 代入 B。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 A。

$$A=-\frac{3}{2}\times 200+600$$

-\frac{3}{2} 乘上 200。

$$A=-300+600$$

將 600 加到 -300。

$$A=300$$

現已成功解出系統。

$$A=300,B=200$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$\frac{2}{3}A+B=400,A+\frac{4}{5}B=460$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}&-\frac{1}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}\\-\frac{1}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}&\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{7}&\frac{15}{7}\\\frac{15}{7}&-\frac{10}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{7}\times 400+\frac{15}{7}\times 460\\\frac{15}{7}\times 400-\frac{10}{7}\times 460\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}300\\200\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 A 和 B。

$$A=300,B=200$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$\frac{2}{3}A+B=400,A+\frac{4}{5}B=460$$

讓 \frac{2A}{3} 和 A 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 \frac{2}{3}。

$$\frac{2}{3}A+B=400,\frac{2}{3}A+\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}B=\frac{2}{3}\times 460$$

化簡。

$$\frac{2}{3}A+B=400,\frac{2}{3}A+\frac{8}{15}B=\frac{920}{3}$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 \frac{2}{3}A+B=400 減去 \frac{2}{3}A+\frac{8}{15}B=\frac{920}{3}。

$$\frac{2}{3}A-\frac{2}{3}A+B-\frac{8}{15}B=400-\frac{920}{3}$$

將 \frac{2A}{3} 加到 -\frac{2A}{3}。 \frac{2A}{3} 和 -\frac{2A}{3} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$B-\frac{8}{15}B=400-\frac{920}{3}$$

將 B 加到 -\frac{8B}{15}。

$$\frac{7}{15}B=400-\frac{920}{3}$$

將 400 加到 -\frac{920}{3}。

$$\frac{7}{15}B=\frac{280}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{7}{15}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$B=200$$

在 A+\frac{4}{5}B=460 中以 200 代入 B。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 A。

$$A+\frac{4}{5}\times 200=460$$

\frac{4}{5} 乘上 200。

$$A+160=460$$

從方程式兩邊減去 160。

$$A=300$$

現已成功解出系統。

$$A=300,B=200$$