解 y、x
x = \frac{45}{2} = 22\frac{1}{2} = 22.5
y=115
圖表
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\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2}
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。
\frac{1}{5}y=x+\frac{1}{2}
將 x 加到方程式的兩邊。
y=5\left(x+\frac{1}{2}\right)
將兩邊同時乘上 5。
y=5x+\frac{5}{2}
5 乘上 x+\frac{1}{2}。
-\frac{1}{2}\left(5x+\frac{5}{2}\right)+3x=10
在另一個方程式 -\frac{1}{2}y+3x=10 中以 5x+\frac{5}{2} 代入 y在方程式。
-\frac{5}{2}x-\frac{5}{4}+3x=10
-\frac{1}{2} 乘上 5x+\frac{5}{2}。
\frac{1}{2}x-\frac{5}{4}=10
將 -\frac{5x}{2} 加到 3x。
\frac{1}{2}x=\frac{45}{4}
將 \frac{5}{4} 加到方程式的兩邊。
x=\frac{45}{2}
將兩邊同時乘上 2。
y=5\times \frac{45}{2}+\frac{5}{2}
在 y=5x+\frac{5}{2} 中以 \frac{45}{2} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。
y=\frac{225+5}{2}
5 乘上 \frac{45}{2}。
y=115
將 \frac{5}{2} 與 \frac{225}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
y=115,x=\frac{45}{2}
現已成功解出系統。
\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&-\frac{-1}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30&10\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\times \frac{1}{2}+10\times 10\\5\times \frac{1}{2}+2\times 10\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}115\\\frac{45}{2}\end{matrix}\right)
計算。
y=115,x=\frac{45}{2}
解出矩陣元素 y 和 x。
\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}y-\frac{1}{2}\left(-1\right)x=-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2},\frac{1}{5}\left(-\frac{1}{2}\right)y+\frac{1}{5}\times 3x=\frac{1}{5}\times 10
讓 \frac{y}{5} 和 -\frac{y}{2} 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -\frac{1}{2}，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 \frac{1}{5}。
-\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{4},-\frac{1}{10}y+\frac{3}{5}x=2
化簡。
-\frac{1}{10}y+\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x-\frac{3}{5}x=-\frac{1}{4}-2
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{4} 減去 -\frac{1}{10}y+\frac{3}{5}x=2。
\frac{1}{2}x-\frac{3}{5}x=-\frac{1}{4}-2
將 -\frac{y}{10} 加到 \frac{y}{10}。 -\frac{y}{10} 和 \frac{y}{10} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
-\frac{1}{10}x=-\frac{1}{4}-2
將 \frac{x}{2} 加到 -\frac{3x}{5}。
-\frac{1}{10}x=-\frac{9}{4}
將 -\frac{1}{4} 加到 -2。
x=\frac{45}{2}
將兩邊同時乘上 -10。
-\frac{1}{2}y+3\times \frac{45}{2}=10
在 -\frac{1}{2}y+3x=10 中以 \frac{45}{2} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。
-\frac{1}{2}y+\frac{135}{2}=10
3 乘上 \frac{45}{2}。
-\frac{1}{2}y=-\frac{115}{2}
從方程式兩邊減去 \frac{135}{2}。
y=115
將兩邊同時乘上 -2。
y=115,x=\frac{45}{2}
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}