解 x、y
x=-68
y=-40
圖表
共享
已復制到剪貼板
\frac{1}{2}x-\frac{4}{5}y=-2,\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
\frac{1}{2}x-\frac{4}{5}y=-2
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
\frac{1}{2}x=\frac{4}{5}y-2
將 \frac{4y}{5} 加到方程式的兩邊。
x=2\left(\frac{4}{5}y-2\right)
將兩邊同時乘上 2。
x=\frac{8}{5}y-4
2 乘上 \frac{4y}{5}-2。
\frac{1}{6}\left(\frac{8}{5}y-4\right)-\frac{1}{3}y=2
在另一個方程式 \frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2 中以 \frac{8y}{5}-4 代入 x在方程式。
\frac{4}{15}y-\frac{2}{3}-\frac{1}{3}y=2
\frac{1}{6} 乘上 \frac{8y}{5}-4。
-\frac{1}{15}y-\frac{2}{3}=2
將 \frac{4y}{15} 加到 -\frac{y}{3}。
-\frac{1}{15}y=\frac{8}{3}
將 \frac{2}{3} 加到方程式的兩邊。
y=-40
將兩邊同時乘上 -15。
x=\frac{8}{5}\left(-40\right)-4
在 x=\frac{8}{5}y-4 中以 -40 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=-64-4
\frac{8}{5} 乘上 -40。
x=-68
將 -4 加到 -64。
x=-68,y=-40
現已成功解出系統。
\frac{1}{2}x-\frac{4}{5}y=-2,\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{4}{5}\times \frac{1}{6}\right)}&-\frac{-\frac{4}{5}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{4}{5}\times \frac{1}{6}\right)}\\-\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{4}{5}\times \frac{1}{6}\right)}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{4}{5}\times \frac{1}{6}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10&-24\\5&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\left(-2\right)-24\times 2\\5\left(-2\right)-15\times 2\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-68\\-40\end{matrix}\right)
計算。
x=-68,y=-40
解出矩陣元素 x 和 y。
\frac{1}{2}x-\frac{4}{5}y=-2,\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
\frac{1}{6}\times \frac{1}{2}x+\frac{1}{6}\left(-\frac{4}{5}\right)y=\frac{1}{6}\left(-2\right),\frac{1}{2}\times \frac{1}{6}x+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)y=\frac{1}{2}\times 2
讓 \frac{x}{2} 和 \frac{x}{6} 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 \frac{1}{6}，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 \frac{1}{2}。
\frac{1}{12}x-\frac{2}{15}y=-\frac{1}{3},\frac{1}{12}x-\frac{1}{6}y=1
化簡。
\frac{1}{12}x-\frac{1}{12}x-\frac{2}{15}y+\frac{1}{6}y=-\frac{1}{3}-1
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 \frac{1}{12}x-\frac{2}{15}y=-\frac{1}{3} 減去 \frac{1}{12}x-\frac{1}{6}y=1。
-\frac{2}{15}y+\frac{1}{6}y=-\frac{1}{3}-1
將 \frac{x}{12} 加到 -\frac{x}{12}。 \frac{x}{12} 和 -\frac{x}{12} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
\frac{1}{30}y=-\frac{1}{3}-1
將 -\frac{2y}{15} 加到 \frac{y}{6}。
\frac{1}{30}y=-\frac{4}{3}
將 -\frac{1}{3} 加到 -1。
y=-40
將兩邊同時乘上 30。
\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}\left(-40\right)=2
在 \frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2 中以 -40 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
\frac{1}{6}x+\frac{40}{3}=2
-\frac{1}{3} 乘上 -40。
\frac{1}{6}x=-\frac{34}{3}
從方程式兩邊減去 \frac{40}{3}。
x=-68
將兩邊同時乘上 6。
x=-68,y=-40
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}