解決{c}{y-3x+15=10}{6-4x=y} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { y - 3 x + 15 = 10 } \\ { 6 - 4 x = y } \end{array} \right.$$

解 y、x

$$x = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7} \approx 1.571428571$$

$$y=-\frac{2}{7}\approx -0.285714286$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 15。

$$y-3x=10-15$$

從 10 減去 15 會得到 -5。

$$y-3x=-5$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 y。

$$6-4x-y=0$$

從兩邊減去 6。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$-4x-y=-6$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$y-3x=-5$$

將 3x 加到方程式的兩邊。

$$y=3x-5$$

在另一個方程式 -y-4x=-6 中以 3x-5 代入 y在方程式。

$$-\left(3x-5\right)-4x=-6$$

-1 乘上 3x-5。

$$-3x+5-4x=-6$$

將 -3x 加到 -4x。

$$-7x+5=-6$$

從方程式兩邊減去 5。

$$-7x=-11$$

將兩邊同時除以 -7。

$$x=\frac{11}{7}$$

在 y=3x-5 中以 \frac{11}{7} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=3\times \frac{11}{7}-5$$

3 乘上 \frac{11}{7}。

$$y=\frac{33}{7}-5$$

將 -5 加到 \frac{33}{7}。

$$y=-\frac{2}{7}$$

現已成功解出系統。

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 15。

$$y-3x=10-15$$

從 10 減去 15 會得到 -5。

$$y-3x=-5$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 y。

$$6-4x-y=0$$

從兩邊減去 6。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$-4x-y=-6$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}\left(-5\right)-\frac{3}{7}\left(-6\right)\\-\frac{1}{7}\left(-5\right)-\frac{1}{7}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\\\frac{11}{7}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 15。

$$y-3x=10-15$$

從 10 減去 15 會得到 -5。

$$y-3x=-5$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 y。

$$6-4x-y=0$$

從兩邊減去 6。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$-4x-y=-6$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

讓 y 和 -y 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$-y-\left(-3x\right)=-\left(-5\right),-y-4x=-6$$

化簡。

$$-y+3x=5,-y-4x=-6$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -y+3x=5 減去 -y-4x=-6。

$$-y+y+3x+4x=5+6$$

將 -y 加到 y。 -y 和 y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$3x+4x=5+6$$

將 3x 加到 4x。

$$7x=5+6$$

將 5 加到 6。

$$7x=11$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=\frac{11}{7}$$

在 -y-4x=-6 中以 \frac{11}{7} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$-y-4\times \frac{11}{7}=-6$$

-4 乘上 \frac{11}{7}。

$$-y-\frac{44}{7}=-6$$

將 \frac{44}{7} 加到方程式的兩邊。

$$-y=\frac{2}{7}$$

將兩邊同時除以 -1。

$$y=-\frac{2}{7}$$

現已成功解出系統。

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$