解決{c}{y=3+x}{5x-2y=0} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { y = 3 + x } \\ { 5 x - 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

解 y、x

$$x=2$$

$$y=5$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 x。

$$y-x=3$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$y-x=3,-2y+5x=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$y-x=3$$

將 x 加到方程式的兩邊。

$$y=x+3$$

在另一個方程式 -2y+5x=0 中以 x+3 代入 y在方程式。

$$-2\left(x+3\right)+5x=0$$

-2 乘上 x+3。

$$-2x-6+5x=0$$

將 -2x 加到 5x。

$$3x-6=0$$

將 6 加到方程式的兩邊。

$$3x=6$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=2$$

在 y=x+3 中以 2 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=2+3$$

將 3 加到 2。

$$y=5$$

現已成功解出系統。

$$y=5,x=2$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 x。

$$y-x=3$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$y-x=3,-2y+5x=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{5-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\times 3\\\frac{2}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=5,x=2$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 x。

$$y-x=3$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$y-x=3,-2y+5x=0$$

讓 y 和 -2y 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$-2y-2\left(-1\right)x=-2\times 3,-2y+5x=0$$

化簡。

$$-2y+2x=-6,-2y+5x=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -2y+2x=-6 減去 -2y+5x=0。

$$-2y+2y+2x-5x=-6$$

將 -2y 加到 2y。 -2y 和 2y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$2x-5x=-6$$

將 2x 加到 -5x。

$$-3x=-6$$

將兩邊同時除以 -3。

$$x=2$$

在 -2y+5x=0 中以 2 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$-2y+5\times 2=0$$

5 乘上 2。

$$-2y+10=0$$

從方程式兩邊減去 10。

$$-2y=-10$$

將兩邊同時除以 -2。

$$y=5$$

現已成功解出系統。

$$y=5,x=2$$