解決{c}{y=2x+16}{-3x+y=20} |Microsoft數學求解器

解 y、x

圖表

測驗

Simultaneous Equation

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https://math.stackexchange.com/q/985309

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y-2x=16

考慮第一個方程式。從兩邊減去 2x。

y-2x=16,y-3x=20

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

y-2x=16

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

y=2x+16

將 2x 加到方程式的兩邊。

2x+16-3x=20

在另一個方程式 y-3x=20 中以 16+2x 代入 y在方程式。

-x+16=20

將 2x 加到 -3x。

-x=4

從方程式兩邊減去 16。

x=-4

將兩邊同時除以 -1。

y=2\left(-4\right)+16

在 y=2x+16 中以 -4 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

y=-8+16

2 乘上 -4。

y=8

將 16 加到 -8。

y=8,x=-4

現已成功解出系統。

y-2x=16

考慮第一個方程式。從兩邊減去 2x。

y-2x=16,y-3x=20

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\20\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\20\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\20\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\20\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{-3-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{-3-\left(-2\right)}&\frac{1}{-3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\20\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\20\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 16-2\times 20\\16-20\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)

計算。

y=8,x=-4

解出矩陣元素 y 和 x。

y-2x=16

考慮第一個方程式。從兩邊減去 2x。

y-2x=16,y-3x=20

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。